Si, dans une intégrale de (D
on pose x=—>jr sera une fonction homogène de degré zéro de x { et x 2 . Faisons le changement de fonction
y^{x K — tk K x^{x s — cl 2 x 2 )°>,..(x { — * m x 2 y>»Tl(x n x 2 ),
où les exposants tr n ...,ff m sont des nombres rationnels; îl(œ n x 2 ) sera une fonction homogène de degré
&— — (*iH-* a -H • • • H- "*)-
EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES HOMOGENES. 99
Soit r" la plus petite racine de l'équation (t),
Si Ton prend a,.— r" n la fonction II, relative à une intégrale quelconque admettra les facteurs (#, — a 4 # a ) avec les exposants r] — r", r\ — r" ou o. Ces exposants sont positifs ou nuls, et en aucun point la fonction II ne deviendra infinie. C'est ce que M. Klein appelle une forme transcendante entière de x K et œ 2 . Toutes les formes II ont pour degré
ou
en tenant compte de la relation donnée à la fin du n° 6.
La décomposition en éléments simples de la fonction 3(6 — ci — a 2 ), dont je suppose calculés les termes quadratiques
permet de déterminer une limite supérieure de ttf . On a en effet
et, par suite,
