Cela posé, considérons les relations

OU

IOO

OÙ

P, et P s , Q, et Q, sont supposés sans facteurs communs. Soient II, , II,, II, les formes entières (sans infinis à distance finie) correspondant aux intégrales y t , y t ,y t . Elles sont d'un même degré d'homogénéité « calculé plus haut. Ou a

ny ' — n,

Rendons homogènes les relations ci-dessus en remplaçant x par — ; il vient d'abord

v\ {x { ,x 2 ) B(n 2 ,n 3? n < ) p;(*i,*Ô À»(fl ai n 3 ,n f )"

B (II 2 , II 8 , U t ) et A a (II 2 , II 3 , IIJ sont du douzième degré en II,, II 2 , IT3 et sont proportionnels aux polynômes P' 4 (.r,, œ 2 ) et P 2 (.r x 2 ). Mais II, II 2 , II 3 étant des formes entières de x K , x„ B(II 2 , ïï 3 , II f ) et A 2 (II 2 , II 3 , II,) en sont aussi, et ces dernières sont nécessairement des formes rationnelles ôex t et x 2 . De même que II,, II 2 , II 3 , elles sont sans infinis à distance finie. Il s'ensuit qu'elles sont non seulement proportionnelles, mais bien identiques aux polynômes P^tf) et P 2 (#) rendus homogènes, P' ( (#,, # 2 ) etV' 2 (x n x 2 ).

La considération du degré d'homogénéité montre alors que le degré des polynômes P est 12 TS.

De même, le degré des polynômes Q est i8tS.

Une limite supérieure de chacun de ces degrés se déduit de la décomposition de l'invariant de M. Painlevé, à savoir •

Si l'équation est donnée numériquement, comme les racines des équations déterminantes sont commensurables , on sait les calculer et il y a alors avantage à prendre la valeur exacte de Ttf : — 2rJ.

En résumé, quelque méthode qu'on adopte entre les deux dernières,

EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES HOMOGENES. 10 1

les calculs seront sans aucun doute très compliqués : on a seulement voulu montrer que le problème est susceptible d'une solution complète.