EST INTÉGRABLE ALGÉBRIQUEMENT
1. Un système (A) d'équations linéaires simultanées aux dérivées partielles du second ordre, à coefficients rationnels, étant donné, il s'agit de reconnaître si son intégrale générale est algébrique et de la former dans le cas de l'affirmative.
Il faut d'abord que
soit algébrique, et alors nécessairement de la forme y/*F(.r,j), Y(#, y) étant une fonction rationnelle de x et de j, et p un entier.
Je suppose cette condition vérifiée, et le système ramené à sa forme canonique. On s'assure en outre que les relations d'intégrabilité sont identiquement satisfaites.
2. Étudions maintenant la nature des intégrales du système (A) dans le voisinage d'une ligne singulière
?(#>/) étant un facteur irréductible figurant dans les dénominateurs des coefficients a, £, c. Cette question a fait l'objet de plusieurs Mémoires de M. Horn (') et d'une courte Note de M. Fuchs ( a ). Je me bornerai aux
(*) J. Horn, i° Ueber ein System linearer partieller Differentialgleichungen {Acta Mathematica, t. XII, p. n3).
2° Ueber System linearer Differentialgleichungen mit mehreren Verânder lichen (Habilitationsschrift der Universitàt Freiburg i. B. 1890).
Un extrait de cette Thèse, où Fauteur étend au système (A) la théorie devenue classique de M. Fuchs, a été publié dans le Tome XVI des Acta Mathematica, p. 337-347.
(*) L. Fuchs, Sitzungsberichte der Académie der Wissenschaften zu Berlin, 1892, S. i5j.
indications indispensables pour la suite, renvoyant à ces travaux pour plus de détails.
Des deux premières équations du système (A) , où Ton a par hypothèse
on déduit l'équation du troisième ordre
d*z d\oga 2 d 2 z |~ , 2 à fa K \~\dz
qui définit z comme fonction de a: seul, y étant considéré comme constant. Soit jr une ordonnée quelconque ne passant pas par un point singulier de la courbe <p = o, ni par un point commun à cette courbe et à une autre ligne singulière, ni par un point où la tangente soit parallèle à Ox. Soit a £ (y ) une racine de l'équation ç(#, jr ) = o; si l'intégrale du système (A) est algébrique, il en est de même pour l'équation (U) en x, et, par suite , cette dernière a ses intégrales régulières dans le domaine du point a,(j )- C'est dire que cette équation (U) est de la forme
dx* x — a/(Vo) àx* [x — ai(y )] 2 dx [x — a^y*)]* '
M M 2 ,M 3 n'étant pas infinies pour x = a £ . De plus, les racines de l'équation déterminante fondamentale relative au point x = a t
S r ( r ~0( r — aJ + M^a^),^].^— i)
sont commensurables et distinctes. Mais le groupe de l'équation (U) coïncidant avec celui du système (A), ses substitutions sont indépendantes de j; par suite, les racines de l'équation déterminante (V) sont indépendantes de j : ses coefficients, qui sont des fonctions rationnelles
EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES HOMOGÈNES. Io3
du point de la courbe algébrique 9 = 0, ont donc une valeur indépendante de y .
En outre, <p(«r, y) étant irréductible, l'équation (V) a les mêmes racines, quelle que soit la détermination a,(j ) choisie. On conclut de là que si l'on désigne par /•', r", r m les racines de l'équation (V), dites exposants de la courbe singulière 9 = o, le système donné (A) admet un système fondamental d'intégrales de la forme
£', £", £ w étant des fonctions uniformes et finies dans le domaine des points de la courbe 9 = o.
M. Horn a établi que cette circonstance ne pouvait se présenter que dans le cas où le système (A) est de la forme
(f hJhi r = A,p -f- A 2 q -f- A 3 z, ^s= B^-i-B.y + B.z, 9^ = C 1 /> + C 2 r/- r -C 3 z,
les nouveaux coefficients ne devenant pas infinis pour les points de la courbe 9 = 0, et A n A 2 , B l , B 2 , C l , C 2 n'étant pas tous divisibles par 9. On s'assurera que le système donné présente cette forme ( ' ).
Pour que les intégrales de l'équation (U) soient régulières aux environs de la courbe singulière 9 = o, il faut et il suffit que ses coefficients successifs contiennent au plus en dénominateur 9, 9 a et 9*. Le premier réalise sûrement cette condition ; quant aux deux autres, si on les exprime en fonction des coefficients A,, . . . , B 3 , ils conduisent aux identités de
(') Nous déduirons de là une remarque relative au système particulier (Aj) formé p. 56 ; l'un au moins des coefficients de z, à savoir :
a(M . + I N) ___ + a , ij MN + ^ + , 2( N.+ JM)-- + 5 -,
se réduit au quotient par (.r+j+i) (4^ 3 -H 27 y*) d'un polynôme du second degré en x et v.
condition
[a,4-a 2 ^(^)]<p^+b:-a 2 c 2 ^$(^j)<p sa ,
$(#,j) et¥(#,j) désignant deux fonctions rationnelles qui ne contiennent pas <f(x,y) en dénominateur. On vérifiera si ces conditions sont satisfaites, et en même temps on aura les coefficients de l'équation déterminante
relative à la courbe <p = o : en effet, a est l'exposant de la puissance de <p, qui est en facteur dans le dénominateur de a 2 ; quant à (3 et y, ce sont les valeurs que prennent, pour un point quelconque de la courbe <p = o, les expressions
dx J
J'ai déjà dit que les racines de cette équation doivent être commensurables et distinctes.
Dans le § 12 de la thèse citée tout à l'heure, M. Horn indique un procédé pour former directement l'équation déterminante sans passer par l'équation du troisième ordre (U) ; mais il nécessite des calculs plus longs que la marche exposée ci-dessus.
Bien entendu, si <p = o était indépendant de x, on aurait recours à l'équation linéaire du troisième ordre définissant z comme fonction de y seul, x étant regardé comme constant.
3. Après s'être assuré de la régularité des intégrales dans le domaine des points des lignes singulières et de la condition imposée aux exposants de ces lignes, on abordera le problème proposé par Tune des trois méthodes exposées dans le Chapitre précédent.
Quelle sera d'abord la forme en z de l'équation intégrale?
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES HOMOGENES. Io5
Soient z n s a , z 3 trois intégrales linéairement distinctes de (A); posant
on a (page 46)
z 3 =uz,,
z 3 =vz tt
^ ç, fàu dv
*' \àx dy
du d»\-* dy dx)
Par un raisonnement absolument identique à celui qui a été employé à propos de l'équation linéaire du troisième ordre, on arrive au résultat suivant :
Si le système (A,) a son intégrale générale algébrique, cette intégrale est de la forme
z k > 5 2i z % étant trois racines , de rapports dépendants de x et jr, de l'équation
les nombres Sfcet n étant pris parmi les systèmes donnés page 90, et les Jonctions q^ . . ., q n étant rationnelles en x et y.
On saura dès lors reconnaître, par la méthode des coefficients indéterminés, si le système donné a son intégrale générale algébrique et correspondant à un groupe linéaire fini donné, dès que le degré en x et en y des coefficients q sera limité.
En considérant successivement x et y comme constantes, on pourra limiter ces degrés par l'application de la méthode de Liouville à l'équation linéaire du troisième ordre (U) et à l'équation analogue relative à y.
On pourra aussi traiter ces équations par la méthode de M. Painlevé ; mais les calculs seront moins longs et plus symétriques en employant le procédé suivant, extension de celui de M. Klein.
4. Pour que l'intégrale générale du système (A) soit algébrique, il faut et il suffit que, pour un groupe fini (a), le système (B, ) formé pages 59, où Ton remplace £et r, par x et j, admette un système d'intégrales V(x 7 y) et Q(#, y) rationnelles.
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On vérifiera s'il en est ainsi dans le cas du groupe de Hesse, en suivant la même marche que pour l'équation linéaire du troisième ordre. Introduisons les variables homogènes x n x 2 , x z en posant
Une intégrale quelconque du système (A) :
est une fonction homogène de x { , .r 2 , «r 3 , de degré zéro. Soit
l'équation homogène irréductible d'une courbe singulière du système (i = 1 , 2, . . . , m), de degré/?,-. Faisons le changement de fonction :
p f , . . . , p m étant des nombres cbmmensurables ; II(.r l , x 2 , x z ) sera une fonction homogène de degré
tS
Désignons par /\, r*, r!' les racines de l'équation déterminante relative à la courbe cp / = o, supposées rangées par ordre de grandeur décroissante
Si l'on prend
les fonctions Il(tf f , ^ 2 , # 3 ), qui correspondent aux diverses intégrales du
système (A), resteront finies pour toutes les valeurs finies de x n x 2} x 3 .
Gela posé, soient H n II 2 , ÏI 3 les fonctions II relatives aux intégrales
EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES HOMOGENES. 1 07
z m *2> z * considérées plus haut. Les relations homogènes
A 3 (II 2 , II 3 , II,) Q>>{x<, #2, #3)'
P O où p^ et ^ sont les expressions rendues homogène s de P et Q, permettent
d'évaluer le degré des termes de P et Q. En effet,
Bcn^n,,^) et A'(n a ,n„n ( )
sont des formes du douzième degré en II,, II 2 , II 8 , respectivement proportionnelles à P, et P 2 ; après substitution des valeurs de II,, II a , II3, elles deviennent des fonctions nécessairement rationnelles de x n # 2 , x % et sans infinis, donc sans dénominateurs; elles coïncident, par suite, avec les polynômes P, et P a et Ton a pour degré de ces polynômes
Le degré des polynômes Q, et Q 2 est
S. Le degré des fonctions P et Q étant connu, la méthode des coefficients indéterminés, appliquée au système (B f ), déterminera ces fonctions P(^j j) etQ(#, y). Lorsqu'on les aura obtenues, l'intégrale générale du système (A) sera définie par les équations
A V — (a u H- p? -h y) 3 C 2 K ct^V+t'W = o,
a, (3, y étant les constantes d'intégration et A, B, C, D, K. les fonctions connues de u et t> (<v = 1).
Il resterait à éliminer u et v entre ces trois relations.
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