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grale générale est de la forme

a et (3 étant deux constantes arbitraires, les fonctions y, <p, ty étant données . La formation d'un tel système s'effectuera en éliminant a» et [3 entre les équations intégrales et les équations qui s'en déduisent par dérivation. On obtient ainsi d'abord

ou bien en développant

tl <k k

./i ya ./s

y i J2 Jb

équation de la forme

y -h Aj 2 -h Bjz 4- Cj + Ds -+- F = o.

On obtiendrait, par un calcul tout semblable, la seconde équation du système sous la forme

s* -H Bz 2 -+- Ajs 4- C, J H- D, z -+- F, = o.

Le système (I) dépend de huit fonctions de x. Par un changement

linéaire de fonctions

« = > l Y-h(x l Z-hv l ,

dont les coefficients sont des fonctions de x convenablement choisies, on peut ramener ce système à la forme canonique

( Y , ^Y 2 -Z = o, v ; (Z / + YZ + ^*)Yh-*(jO = o;

c'est ce système qui généralise l'équation de Riccati (i).

Un calcul sans difficulté donne, entre les six fonctions qui interviennent dans la réduction , les relations suivantes

(4) AX-t-B* l= =i f

(6) V (* f — (xV -h vjx, — pv, -H X(C^ — C f (i) -H \ (Dfx, — D, (x) = o,

(7) Kf*i — (*> + ^(CfA, — C f [*) + ^(D^ — D f j*) = X(L f — j/Tà,,

/C^ I ^i — V >+( Av + Bv i)( V ^| — Pi)

I - r v(CjA l -C l ft)-+-.v l (D{t l -D l (t) + Fft 1 -F 1 ft = o v

j h-(a(CX, — C.^ + ja.CDX, — D,V) = o.

Ce système définit linéairement les six fonctions inconnues. D'abord (5)

conduit à poser

(x = B<p, {*, = — Acp.

Les relations (4) et (7) donnent alors