INVARIANTS DIFFÉRENTIELS DE MM. GOURSAT ET PAINLEVÉ
1. Considérons un groupe fini (a) de substitutions linéaires à deux variables non homogènes w, v, et les deux fonctions fondamentales invariantes qui lui correspondent
\X = /(tt,p),
Si, pour un système de valeurs (#, j), les valeurs (U, V) vérifient les équations (1), toutes les autres solutions (u, v) de ces équations s'obtiennent en opérant sur les valeurs (U, V) toutes les substitutions du groupe (a).
Cela posé, dérivons, par rapport à x et à j, les deux membres de chacune des relations de substitution
(2) tt ( a U + JV + c)=a'U+ b'X -hc',
(3) p(aU -h bV + c) = a"U + b" V + c",
en poussant la dérivation jusqu'au second ordre inclusivement; nous formerons ainsi douze équations linéaires et homogènes en a, £, c, a', b\ c\ a", b" , c", et si nous éliminons ces constantes, il restera quatre équations portant sur les dérivées partielles premières et secondes de u et v d'une part, de U et V d'autre part. Nous allons effectuer cette élimination et construire ces quatre équations.
EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES HOMOGENES. J 5
La dérivation de la relation (2) donne
à(uU) f à(uV) du , àU , , àV
àx àx dx àx dx
d(uU) ,à(u\ 7 ) du , àU ,, àV
dy dy dy dy dy
à*(uU) , à*(uV) à*u , à*{] ,, à*V
a àx* ^° dx* ^ C àx* a àx* ^° dx*'
à*(uU) f y d*(uV) d*u , à*U ,, à*V
dxdy dxdy àxdy dxdy dxdy
à'(uU) yd'UiY) d*u , à*U ,, d*V
Résolvons par rapport à ci et b 1 les deux premières équations formées, en posant, d'une manière générale,
v » ' T ; àx dy ày àx J
b'=bu + j-g^ («U + b V + c).
Remplaçons a! et b' par ces valeurs dans les dernières équations; il vient, après réductions :
àx*
, IT V A à*u , 1 [/ (HJ ,dV\d« / dU , ,<*V\d«-||
( 6 ) ( u » v )[^r + aU + 6V + c ( a 5F + ^)^J = ^ V )^ + ( <, ' P )^r
A ce système de trois équations linéaires et homogènes en a, b, c, il y a lieu d'en adjoindre un second qu'on obtiendrait en traitant l'équation (3) comme on a traité l'équation (2) : il se déduit du précédent en changeant u en v.
l6 A. BOULANGER.
Il s'agit d'éliminer a, b et c entre les six équations formées; or a, b, c n'interviennent que par les expressions
dU dV
y dx dx
^~ aU-hbV + c'
dU dV dy dy
L'élimination de £ entre l'équation (4) et sa correspondante de l'autre système donne pour résultat
( u > v ) (a? s - s? ai) = Â?L (ttf V) s ~ ( "' ^J
ou, en développant le second membre,
d^ufo à^vàu d*\] dV d*V dU
(7) dx* "dx "~ ~ dx* dx ~dx* dx ~"~ Ar* dr
K"ô - (urv)
L'élimination de r, entre l'équation (6) et son homologue conduirait de même à
à*u dv d^du à*l) dV d*V dU
(ii,*) (U,V)
L'élimination de £ et de r, entre les équations (4) et (5) fournit la relation
ni v^f d - — ' — — — ( dv diu — d * v M
^ 'l'dydx* ~dy dx* + 2 \dx dxdy ~~ Âr dxdy)]
dxdy
EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES HOMOGÈNES. 17
ou, en réduisant le second membre,
/d 2 udv d 2 v du fdv d 2 u du d 2 v
dx 2 dy dx 2 dy \dx dxdy âx dxdy
dUJ dV d*Y <HJ /àV à 2 V àU à*Y \ dx 2 dy dx 2 dy \dx dxdy dx dxdyj
La permutation de x et y clans cette équation complète le système d'équations que nous nous proposions de former
d 2 v du d 2 u dv dy 2 dx dy 2 dx
fdu^ d 2 v dv d 2 u \ \dy dxdy dy dxdy )
<WdU dH[dV /dU d*V dV d'U\
dy' 1 dx dy' 2 dx \dy dxdy dx dxdy)
~ (DTV)
La manière dont se présentent les quatre équations (7), (8), (9) et (10), met en évidence l'existence de quatre fonctions différentielles qui restent invariantes par les substitutions du groupe (a) (').
Nous désignerons ces invariants par I, J, M et N, en posant
/ \ t>7 d 2 u dv d 2 v du
( îl ) ~Jx^dx~àx~ 2 ~dx~'
