MV===— --— - + 2^----— --Y

^ ' dx 2 dy dx 2 dy \dxdy dx dxdy dx)

OÙ

/ n\ ~ du dv dv du #

^ ' dx dy dx dy J

( ! ) Ces invariants, extension au cas de deux variables de l'invariant schwarzien — - t ( -7 ) y ont été considérés à deux points de vue par M. E. Goursat (Comptes rendus, 16 mai 1887 : Sur un système adéquations aux dérivées partielles), et par M. P. Pain levé (Comptes rendus, 3i mai 1887 : Sur les équations linéaires simultanées aux dérivées partielles). Ce qui précède n'est que le développement de la première partie de la Note de M. Painlevé.

l8 A. BOULANGER.

J et N se déduisent respectivement de I et de M en permutant à la fois

(a, v)et (x 9 jr).

2. La méthode qui a fourni ces invariants peut être généralisée; elle permettra, par exemple, de former les invariants différentiels relatifs aux groupes linéaires finis quaternaires, ou à trois variables non homogènes.

Prenons en effet un tel groupe ((3) et ses trois fonctions fondamentales invariantes

Si, pour un système de valeurs (,r, j, s), les valeurs (T, U, V) vérifient les équations (î 4) ? toutes les autres solutions (£, &, v) de ces équations s'obtiendront en opérant sur (T, U, V) toutes les substitutions du groupe ((3).

Dérivons jusqu'au second ordre inclusivement les relations de substitution

a(fT)-+-ft(tU) + c(«V)-+-ift =a'T+b' U-hc'V-t-d' ,

(i5) {a(wT) + ^U) + c(wV)+^ = a /, T+i' / U + /V+/,

Dérivons d'abord la première de ces relations successivement par rapport à #, à y et à z. Il vient

(a T H -6U-fcV+rf)| = (a'-a0g'H-(^-^)^H-(c'- C 0^- On déduit de là

«'= a* 4- §&?$) (aT+ 6U-+-cV-hrf),

EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES HOMOGENES.

D(<p, <J/, jcj étant le déterminant fonctionnel de cp, <]/, ^ par rapport à x, y, z. Dérivons la même première relation par rapport à x deux fois, puis par rapport à a? et à/, en remplaçant après la différentiation a', b\ c par les valeurs qu'on vient d'obtenir. Après des simplifications immédiates, on obtient les résultats suivants :

àT àx

àx dx ) dx

aT+bU + cV + d

-Sd(T,u,v)

dx dx*

àx*

àT

àU

dV\<h dx J ày

àT ày

dV\<k dy J dx

aT+bU + cV+d

Nous poserons

(aT+H)-t-eV+rf)$ = (aTH-6UH-cV-f-rf)Yi =

àT

h— — àx àx

ày

àU

(«TH-ftU + C V+rf)Ç=(aS + ^+«S) D ( T ' U » V )-

àz

Les équations ci-dessus s'écrivent

dx»

àx 3

àx*

àx 2

àU

àV

<te

àx

àt

àT

àU

àV

ày

àU

àY

dz dz

y ai dt

dxdy

àT

àU

àT

àV

ày

àz

d*V dxdy

dV dx

ày

dV dz

On obtiendrait d'une manière toute semblable quatre équations ana logues, qui s'en déduisent d'ailleurs aisément

ày

d*t à*T d*\J d*V àp

— dx

dt dz

ày*

àU

àV

àU

ày

àU

En traitant de même les deux autres relations de substitution, on serait conduit à deux autres groupes de six équations, ce qui nous donnerait en tout dix-huit équations entre lesquelles on va éliminer £, 7), £. Les quinze équations finales définiront quinze invariants différentiels que nous allons former.

D'après la méthode générale de Sophus Lie ('), faisons l'élimination

de façon que Tune des équations contienne,' par exemple, j-j-> à l'exclusion des autres. Il suffira d'éliminer £ et r, entre les trois équations développées ci-dessus, et cela se fera en multipliant la première par (-r-) >

( ! )Sophus Lie, Théorie der Transformations gruppen. Erster Abschnitt; Kap. XXV : Differentialinvarianlen, § 131, S. 549; K a P- X11I : Invarianten, § 58, SS. 2i5 und ai 8.

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINEAIRES HOMOGENES.

la seconde par

à membre.

Il vient

— j- -T- > la troisième par (y- j ; et en ajoutant membre

YdH fdi \dx 2 \dy

ày)

dt dt d 2 t 2-t- -T-

dx ày dxdy dy

àx\ày)

àt\

ày)

àt à

t fàt\

= \ày)

dt /dt dy \dx t

dt dt dt

dx dy dz

dx 1 dx* dT àU

ày

àT dz

ày dz

dx 2 àV

ày

dV dz

à*T à*\J à*Y ~àx* dx* dx*

àT àU

dx dx

àT àU

dz dz

àY dx

dxdy

àxày dxdy

àT

dV àV

àx dx

àU àV

àz àz

dx*

àx*

àU

àY

àx

àT

àXJ

àY

ày

à*ll

ày*

dy*

àT

àU

àV

àx

àV

dxdy

dxdy dx ày

àT

àU

àY

àx

àT

àV

ffl

dt /dt dz \dx

à*T àxày

àT ày

àT

dy»

ày*

àT

ày

àU

àv

àY

ày

àT

àU

àY

àz

àY*

ày*

àT

àY

àx

àT

àU

àY

ày

àxày àxày

àY

ày

àT

àz

dy dy dy

Le rapport de deux quelconques des coefficients de cette équation (coefficients où figurent les dérivées de T et de U) ne changeant pas par une substitution linéaire, on obtient ainsi sept invariants.

La considération des équations analogues (avec les dérivations relatives ky et z, à z et x) en fournirait huit autres.

Voici le Tableau de ces quinze invariants, au facteur p , T ^ v ^ près,

en convenant de n'écrire qu'une colonne de chaque déterminant, les deux autres s'en déduisant en remplaçant T par U et V :

dxdy

àyàz

àzdx

àT

ày

àz

àT

ày

àx

àx*

dxdy

dx*

dxdz

àT

1 dT

àx

ày

àT

ày

àz

ày*

dxdy

ày*

dxdz

àT

ày

àT

ày

àz

àT

àz

àT ~àz

àT ày

àT

àz

àx

ày

àx

àz*

dz*

àzdx

àz'

dxdy

àT àz

àT

àz

àT

dT àz

àT àx

àT

àx

ày

(*) Ces invariants ont été indiqués par M. Painlevé, dans la Communication du 3i mai 1887; une légère erreur de calcul, signalée d'ailleurs au début d'une Note du 27 juin 1887, a seulement faussé les expressions des six. invariants à double déterminant.

Mais, laissant de côté cette généralisation, revenons au cas de deux variables.

3. Considérons maintenant x et y comme fonctions de u et de p, et formons les expressions explicites des invariants I, J, M, N en fonction de u et de i>, les fonctions rationnelles f(u, v) et g(u,v)étant d'ailleurs connues.

Posons

du dv dv du

et dérivons les équations (i) par rapport à x et à y; il vient

df du àf dv dg du dg dv

du dx dv dx J du dx dv dx*

df du df dv dg du dg dv

du dy dv dy' du ày dv dy

Ces quatre équations donnent

dx dv dy dv

dx du dy du

Dérivons par rapport à x les équations de gauche de ce système. Nous obtenons

A2 d*u d*g dg d*g dg dl dg

dx 2 du dv dv dv'* du dx dv

A* <Pv *£ àg t d*g dg t d*. dg

dx* du* dv dudv du dx du

L'invariant I prend par suite la forme demandée f ifiï IA a - *£ W o d *ë d S d g , *g (àg\

K ivj iu — dui y^j j. dudv du dv "*" dv* \duj

L'expression de J se déduira de celle de I en permutant g et/ La dérivation des mêmes équations par rapport à y donne

A* iPu —

dxdy

d*g ôf ô*# ôf d\ dp dudv dv ' dv 2 du ôy dv

ôxôy

à*ff df , d>g df , dl dg ôuôv du ou 2 dv ôy dv

Il en résulte immédiatement pour M l'expression suivante

3MA 8 = dtkd JL — d ^ d A

dv ou ou dv

% \( d 'e d J Êïï. d JL\ d l + (*J d A J!?E- *E\ d l~\

\\du'- dv dudv du) dv ~ + ~ \àv* du dudv dv ) du\

Mais on a évidemment

à* dg <>A d f{== f/(à/ry , 2 jHL d A?# */(à£\' ôv ou ou ôv ôv 2 \ôu ) ôuôv du ôv du 2 \ôv )

LV^w 2 dv dudv du) dv \dv 2 du dudv dv ) du]'

en sorte que l'expression de M prend la forme définitive - 3MA'- - W&Y- **L d ***+. d Jf(^.Y

01,1 ~~du*\dv) dudv du dv ^ dv* \du )

^ 2 \(** <■ fr *8 àg\ df (d*g dg à* g dg\ df\

\\ôu À ôv ôuôv du) ôv \du 2 du dudv dv J du]

On aura N par la permutation de g et de/

On est ainsi à même de calculer les fonctions I, J, M, N rationnelles en u et v : ces fonctions ne changent pas par les substitutions du groupe considéré (a) et sont par suite des fonctions rationnelles de x et de y.

Pour déterminer ces fonctions de x et de y, il faut, bien entendu, préciser ce groupe (a).

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINEAIRES HOMOGENES. 2.5