LE GROUPE DE HESSE ET SES FONCTIONS FONDAMENTALES INVARIANTES
1. L'énumération des groupes d'ordre fini contenus dans le groupe linéaire à trois variables homogènes a été faite par M. G. Jordan dans deux Mémoires cités dans l'Introduction, et, plus récemment, d'une manière tout à fait indépendante, par M. H. Valentiner (*). Les résultats analytiques de ces travaux ont reçu de M. Kantor ( 2 ) une interprétation géométrique.
On peut classer ces groupes de la manière suivante :
I. Groupes qui se déduisent des groupes à deux variables, et qui transforment en eux-mêmes un point et une droite extérieure. (Type n° 1 de M. Jordan, se subdivisant en cinq.)
IL Groupes monômes, ou à triangle fondamental, qui laissent invariables les côtés d'un triangle. (Types n os 2 et 3 de M. Jordan. )
III. Groupe G 60 (comprenant 6o substitutions), isomorphe avec le groupe de l'icosaèdre et transformant une conique en elle-même. (Type n°4deM. Jordan.)
IV. Groupe G 36 transformant en elle-même la cubique harmonique.
V. Groupe G 72 transformant la cubique harmonique en sa hessienne.
(*) II. Valentiner, De endelige Transformations-Gruppers Theori (avec un résumé en français). (Extrait des Mémoires de V Académie Royale de Copenhague; 6 e série, classe des Sciences : Vol. V, n° 2; 1889.)
M. Valentiner ne cite nulle part les travaux de M. Jordan qu'il paraît ignorer; tout en découvrant un nouveau groupe, il omet le groupe de Hesse dont l'intérêt géométrique était connu depuis longtemps.
(*) S. Kantor, Sur les groupes finis de collinéations {Journal de M. Fuchs, t. CXVI, p. 171; 1896).
VI. Groupe hessien G 2 , 6 , jouissant de la propriété, signalée par H esse, de laisser inaltérés les systèmes de trois droites passant par les neuf points d'inflexion d'une cubique plane. (Types n os 5, 6, 7 de M. Jordan.)
VIL Groupe de M. Klein G l68 , découvert par M. Klein ( f ) dans l'étude de la transformation du septième ordre des fonctions elliptiques, et laissant invariante la quartique
cv 8 U-+- u*v-\-v*w = o.
VIII. Groupe de M. Valentiner G 360 , transformant en elle-même la sextique
Ce groupe et le précédent présentent maintes analogies : ainsi leurs fonctions invariantes se forment d'une manière identique.
Les trois derniers groupes sont particulièrement intéressants; nous nous limiterons toutefois dans ce travail à l'un d'eux, celui de Hesse.
2. Le groupe de Hesse comprend 216 substitutions dérivées des 5 substitutions fondamentales suivantes :
OfC.
Il = V
zv
zv
ZW
u H- tv + e 2 (i>, w+e 3 c+ ecv,
où
On reconnaît d'abord, eu égard aux substitutions S,, S a , S 3 , que tout invariant relatif du groupe (on entend parla une forme se reproduisant
(*) F. Klein, Mathematische Annalen, Band XIV, S. i44î Band XV, S. 265.
EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES HOMOGENES.
à un facteur numérique près) est une fonction entière des expressions
= u* -+- e 3 -+- w x = 3uvw 9
aV
Les substitutions S 4 et S 5 laissent K invariant relatif et transforment a, t, p de la manière suivante :
3 (a* + <rr -i- t 2 ) —
Un calcul facile montre que les fonctions de cr, t, p qui sont des invariants relatifs pour ces substitutions, en se bornant aux moindres degrés, sont
Entre ces formes, on a les identités
A 3 — 3AB+2D = 43aK
Il est aisé d'établir que tout invariant relatif du groupe de Hesse est exprimable par une fonction entière de A, K, B, CetD(').
(*) Voir H. Maschke, Aufstellung des vollen For mensy stems einer guaternàren Gruppe von 5i84o linearen Substitutionen (Math. Annalen, Band XXXIII, S. 326; 1889). Le procédé de démonstration avait été indiqué par M. Klein, à propos du groupe G, 68 , dans son cours inédit de l'hiver 1886-1887, à Gôttingue (Aufgewâhlte Kapitel der Algebra, Vorlesung XII).
Les invariants absolus ou fonctions fondamentales invariantes du groupe sont les quotients d'invariants relatifs, de même degré, que les substitutions reproduisent au même facteur numérique près.
Les substitutions S,, S 2 , S 8 reproduisent identiquement les invariants relatifs A,B, C, D et changent K de signe. QuantàS^et S 5 , elles donnent les résultats suivants :
Sj.
Nous sommes ainsi conduits aux fonctions fondamentales invariantes
Moyennant ce choix, les identités (1) prennent la forme remarquable
43aK. , = (a?4-.rH-i)A», io8C 3 = (4* s + 27j 2 )A\
On observera que le nombre des solutions du système (2) en «, v, w, si l'on suppose x et y donnés, est 1 2 x 18 = 216.
