INTÉRÊTS COMPOSÉS

par logarithmes, on les traite suivant les règles générales de l’algèbre (Calcul des quantités négatives).

Si on trouve à la lin d’un calcul

log a; = ¥,3419291 ,

on décompose ce logarithme négatif en ses deux parties; on écrit;

log x = 0,3419091 — 2 ;

= 0,3419091 — log 100.

Soit N le nombre dont le log est 0,3419091 ;

(log N = 0,3419091) ;

on a : log x = log N — 2 = log N — log 100 = log ,

,, • N d„u * = ÏÔ5'

En prenant la table, on trouve N =2,19748, d’où x =0,021 9748. De là cette règle ; Pour trouver le nombre correspondant à un logarithme à caractéristique négative , on remplace cette caractéristique par 0; on cherche le nombre qui a pour logarithme le nombre résultant; puis on recule la virgule dans ce nombre trouvé d'autant de places qu'il y a d’unités dans la valeur absolue de la caractéristique négative.

Intérêts composes .

250. Les intérêts sont composés quand , chaque année, on joint au capital l’intérêt qu'il a produit pour former un nouveau capital produisant intérêt durant l’année suivante (*).

Problème. Que devient au bout de 8 ans un capital de 12000 fr. placé à intérêts composés , à 5 p. 0/o?

1 fr., en un an, rapporte 5/100 ou 0,05 d’intérêt; chaque capital de 1 fr. augmenté de son intérêt devient donc , au bout de l’année, 1,05; donc 12000 fr. ou 12000 capitaux de 1 fr. prendront à la lin de la première année une valeur égale à 1,05 x

(*) Les intérêts se capitalisent pénéralement d’année en année ; nn pourrai:! convenir d’une autre période.

COORS D’ALGÈBRE.

1*2000 = 12000 (1,05) = Ce capital, a, fr., produit intérêt durant la deuxième année; chaque franc de ce capital , augmenté de ses intérêts pour cette deuxième année, devient 1,05 ; les a, fr. prennent une valeur égale à ff,xl,05 = a i . Remplaçant a,, par sa valeur numérique , on trouve «, = 12000 X (1,05) X 1,05 = 12000 (1,05)*.

Le capital a s , placé au commencement de la troisième année , prend, à la fin de celte troisième année, la valeur a,x(l,05), d’après le même raisonnement; a 8 x 1,05 = 12000 x (1,05)’ X 1,05 = 12000 (l,05) s = a t . Au bout de quatre ans, la valeur des 12000 sera devenue 12000(1,05)*, etc., jusqu’à la huitième année, à la fin de laquelle le capital a pris la valeur 12000 X (1,05) 8 .

Ce raisonnement est tout à fait général ; si on veut traduire le résultat en formule , on désignera par a la valeur du capital , par i l’intérêt de 1 fr. pour un an , et la valeur de a au bout de n années par A ; le raisonnement étant fait sur A comme sur 1 2000 , on arrive à cette formule À = a (1 -f-ij" (1).

Une pareille valeur se calcule ordinairement à l’aide des logarithmes; log A = log a + n log ( 1 -j- *').

Dans l’exemple proposé ;

log A = log 12000 -f- 8 log (1,05),

Que devient au bout de 8 ans 3 mois 20 jours un capital de 12000 fr. placés à intérêts composés, et à 5 p. 0/o par an?

Au bout de 8 ans, d’après ce qui précède, le capital a pris une valeur de 12000 (1,05) 8 . Cette somme 12000 (l,05) s doit encore rester placée à intérêts simples durant 3 mois 20 jours ou 110 jours.

L’intérêt de 1 franc pour 110 jours à 5 pour 0/o est ~ll ^0 V ormu ^ e générale) ; 1 franc augmenté de son intérêt ,

pour 110 jours, devient donc égal à 1 -) — — — .

uOU

Chaque franc prenant cette valeur, le premier capital 12000 x (1,05) 8 prendra celte valeur multipliée par 12000 (l,05) s ; donc la valeur cherchée des 12000 francs au bout de 8 ans 3 mois 20 jours :