INTÉRÊTS COMPOSÉS
On évalue A à l’aide des logarithmes.
log A = log 12000 -f- 8 log (1,05) + log ( 1 +
Ce raisonnement est général ; on peut formuler ainsi le résultat : (2) A = o(l + i) n (^l+iX^);
est la fraction d’année qui accompagne le nombre entier d’an-
nées 'dans l’exemple précédent, 110/360).
Problème inverse. Quel est le capital qui , placé à h p. 0/o , prendrait au bout de 8 ans une valeur de 15000 fr. ?
Appelons a le capital inconnu ; en le soumettant au raisonnement du n° 230, ou employant la formule (1) , on a A = a( ; mais A =15000 ; donc, 15000 = a X (1,05) 8 . Appliquant les logarithmes , nous aurons :
d’où
log 15000 = log a + 8 log 1,05 , log a = log 1 5000 — 8 log 1,05.
Problème. Au bout de combien un capital, placé à intérêts composés et à 5 0/o , est-il doublé?
a doit devenir 2a ; remplaçant, dans la formule (1) , A par 2a, on trouve
2a = a (1,05)* ou 2 = (1,05)".
On voit facilement que n n’est pas un nombre entier (150 . I.e capital ne se trouvera pas doublé exactement au bout d un nombre entier d’années ; supposons qu’il se trouve doublé dans l’intervalle de la p iin,e à la (p + l) ié,ne année. Aiors (l,05) p < 2.
p log (1,05) < n log 1,1,05) < (/>+ 1) log (1,05) ,
ou enfin , p < n < p + 1.
Ainsi , la partie entière de l’expression en années du temps
232 cours d’alcèbre.
cherché est la partie entière de la valeur du nombre n de l’équa tion 2 = (l,05) n .
En appliquant les logarithmes à cette égalité, on trouvera le nombre d’années cherché n à moins d’une unité.
Supposons qu’on ait trouvé 15 ans; on mettra 14 dans la formule (2) ; puis l’égalité
simplifiée , donnera la valeur de - ou de la fraction d’année complémentaire de 15.
On trouverait de même le temps au bout duquel un capital est triplé, quadruplé, etc , acquiert une valeur donnée quel-
conque.
Annuités.
231 . Problème. Un employé fait , chaque année , 600 fr. d’économies qu’il place chez un banquier, à intérêts composés , à 5 p. 0/o- Ayant pris sa retraite au oout ae 25 ans, il relire son argent pour acheter une maison , en y joignant ses économies de la dernière année.
Combien possède-t-il en tout? (Placement par annuités.)
L’intérêt de 1 franc pour un an est 0,05. La première somme de 600 francs reste placée chez le banquier durant 24 ans; elle acquiert donc la valeur 600 (1,05)** ; formule (1) , page 230.
La deuxième somme placée durant 23 ans devient 600 (1,05)”; la troisième somme id. , pendant 22 ans, devient 600 (1,05)”, et ainsi de suite. L’avant-dernier placement ne durant qu'un an , les 600 fr. deviennent seulement 600 (1,05); le dernier ne rapporte aucun intérêt ; c’est 600 fr.
La somme de toutes ces valeurs acquises au bout de 25 ans , dans leur ordre renversé, est donc 600 -)- 600 (1,05)-)- 600 (1 ,05)’+. ..+600(1, 051” ou 600 (1 +1 ,05 +1,05)’+ (1 ,05)‘+. . . + (1,05)”. La somme entre parenthèse est la somme des termes d’une progression par quotient dont le 1" terme est 1 , la raison 1,05 et le nombre des termes 25. Faisons donc dans la formule ,
