MULTIPLICATION ALGÉBRIQUE

Appliquant la règle , on aurait pour reste :

7a 5 6-{-3a 3 &* — 2ac — 8a — 5a 3 6’ -f- Aa 3 è — 5ae-|- 3a,

dans lequel il y aurait à effectuer la réduction des termes semblables. Pour plus de commodité, on dispose ainsi l’opération :

7aV> -f 3a 3 6* — 2ac — 8a.

ha?b — 5 a 3 6 5 — 5ac + 3a

Reste lla*6 — 2a 3 6 ! — lac — 5a.

Nous n’avons pas de règle à donner pour soustraire un monome isolé d’une expression algébrique quelconque ; il suffit évidemment d écrire ce monome à la suife de l’expression algébrique avec le signe — , puis de réduire , s’il y a lieu.

MULTIPLICATION

17 . Principe. Pour multiplier un nombre par un produit effectué, il suffit de multiplier ce nombre successivement par les divers facteurs de ce produit. (Arithm., n° A6.)

Multiplication des monomes.

18 . Règle. Pour multiplier deux monomes , on multiplie les deux coefficients l'un par l’autre; si une lettre entre dans les deux facteurs , on l’écrit au produit avec un exposant égal à la somme des exposants qu’elle a dans les deux facteurs ; si une lettre n’entre que dans un des facteurs , on l’écrit au produit avec le même exposant que dans ce facteur.

Une lettre qui n’a pas d’exposant indiqué est regardée comme ayant l’exposant 1 .

Ex. : Multiplier 5a6*c 5 par 7a ! 6 3

5a6*c 3 x 7a 5 6 3 = 5a66ccc X l.a.a.bbb.

On peut rapprocher les facteurs numériques l’un de l’autre, puis les facteurs littéraux égaux; ce qui donne :

5 x1aaabbbbbccc—Z5a 3 bV qui est bien le résultat que fournirait la régie énoncée.

COURS D’ALGÈBRE

Évidemment il y a autant de facteurs égaux à a dans le produit qu’il’y en a à la fois dans le multiplicande et dans le multiplicateur; chaque nombre de facteurs a étant indiqué par l’exposant, on peut dire que l’exposant de a dans le produit est égal à la somme des exposants de a dans les deux facteurs; de la règle des exposants.

Multiplication d’un polynôme par un monome.

19. Principe. Pour multiplier une somme ou une différence par un nombre il suffit de multiplier les termes de la somme ou de la différence par ce nombre.

Règle. Pour multiplier un polynôme par un monome, on multiplie chaque terme du polynôme par le monome d’après la règle de multiplication des monomes , et on écrit tous ces produits partiels les uns à la suite des autres, chacun ayant le signe du terme correspondant du multiplicande.

Ex. : Soit proposé de multiplier a-\-b — c — d -j- e par m.

Nous distinguons trois cas : m peut représenter un nombre entier, un nombre fractionnaire, un nombre incommensurable.

1 er cas. Supposons m = lx.

(a -f b — c — d -f- e) x U est la somme de 4 polynômes égaux à a-|-6 — c — d- f- c.

SL l’on conçoit ces polynômes écrits les uns sous les autres pour qu’il soit procédé à la réduction des termes semblables

il devient évident que la somme ou produit demandé est a X 4 + i> X 4 — cxii — rfxii-fexii;

Résultat que fournirait l’application de la règle énoncée.

2' cas. m = -.

Multiplier a -f- b — c -r- d -f- e par c'est prendre h fois la

7 e partie du nombre représenté par ce polynôme ; or la 7' partie

de a + 6 — c — d -j- e est ^ -J- - — - — - 4--.

Celasera rendu évident si on montre que ^ — c - — ~-j- i j

~ a -f- & — c — d-\-e\ or lâ multiplication de — - —

7 T 7 P ar ^ rentre dans le premier cas; il faut multiplier chaque^

terme du multiplicande par 7 : mais en multipliant un quotient a -

par le diviseur 7, on reproduit le dividende a; et ainsi des autres termes ; donc

et la septième partie cfe a -f- 6 — c — . d -f e est bien

on aura les - de a -f- b — c — d -f- e en multipliant cette septième partie par U, ce qui rentre dans le premier cas ;

a b c d , e\ k b k k li

7 + 7“7 - 7 + 7j Xa = 0>< 7+ 6X 7 CX 7~ rfX 7+ eX 7Î

tel est le produit de a -(- 6 — c — d -f e par 5.

Ce résultat est celui que donnerait l’application de la règle énoncée.

3 e cas. m est un nombre incommensurable (Arilh., il” 308).

Si ou substitue à m des valeurs coniinensurables de plus en plus rapprochées m', m', m'",... la règle pourra constamment être appliquée si près que le multiplicateur approchera dem; donc, à la limite, on aura, le produit en employant lè multiplicateur m suivant la règle. »

W coulis U’AtGÈRm:.

On a donc dans tous les cas possibles :

(a-j-6 — c — d-j-e)XHi=aXm+&X/« — cxm-rfxm + exwi.

1 Ex. : Soit ù multiplier 5 a'ô 3 — 'Aa'b- — 10 a’b -(- 7 a par 6 a*/»c s .

5a'/; 3 — 3a 3 /»" — 10a*t -J- Irt 6 a-bc’

■ ‘ 30a*6 1 e’ — 1 8a B 6V- — 6 Oa'b’-c* 4- û2a ! 6c 2 .

^ Multiplication d'un monomc par un polynôme.

20. Règle. On multiplie le monome par chaque terme du polynôme; on écrit tous les produits partiels les uns à la suite des autres, chacun d’eux pyanl le même signe que le terme correspondant du multiplicateur.

Ex. : m X (a -f- /» — c — <Z + e) =mx« + mx6 — m x c — ffiXii|mXf. " ,

Démonstration. En effet m(a-\-b — c — d-j-e) = (a-f-6 — c— . d-\-e)m=sax m + iX» — cX>« — d xm-f-ex»i=»iXa-{~ mX/> — mXc — mxd -f- mxe (Aritli., n° 45).

Remarque. On peut toujours supposer que le facteur polynôme n’ait pas de termes semblables entre eux, qu’il soit réduit à sa plus simple expression. Cela étant, ou voit facilement que tous les produits partiels obtenus sont dissemblables.

En effet , en introduisant dans deux termes dissemblables 5a 4 /» 3 et 3 a 3 /;*, par ex.: les mêmes facteurs littéraux a-, b, c-, on ne rend pas ces termes semblables.

Le produit d’un polynôme irréductible par un monomc renferme donc autant de termes que le multiplicande.

Multiplication de deux polynômes.

21. On propose de multiplier a — b -f- c — d par m — n-f p — q

Soit A la valeur numérique du multiplicande. Le produit demandé équivaut à

AX(m -‘-«4' P — q) — \.m — \.n-\- A .p — A ,q (n° 20).

Remplaçant le nombre A par le polynôme équivalent a — 6 -fc — d, on a pour produit

( fl — 6-f-c — d,q. (1)

On est donc conduit à multiplier tout le multiplicande successivement par chacun des termes du multiplicateur.

Voici le tableau de l’opération que nous expliquons ensuite,

am — bm -(- cm — dm — an -j- bn — en -j- dn -j- ap — bp -j- cp — dp — aq -\-bq — cq dq

Démonstration. En effectuant les opérations indiquées ci-dessus (1), on trouve d’abord le premier produit partiel

a.m — bm-\-cm — dm (n 0 19)

que l’on écrit, tel qu’il est, au produit général.

Chacun des termes de ce produit partiel a le même signe que te terme correspondant du multiplicande. Or le terme du multiplicateur que l’on vient d'employer a le signe -{-.

Le second produit partiel (a — 6-f-c — d) n-an — bn-\-cn — dn, doit être soustrait du premier produit ; il faut donc changer tous ses signes, puis l'écrire ainsi modifié à la suite de ce premier produit; c’est ce que nous faisons. Chaque terme de ce second produit partiel se trouve donc avoir au produit général un signe contraire à celui du terme correspondant du multiplicande. Or le terme du multiplicateur que l’on vient d’employer est dans ce polynôme précédé du signe — .

Le troisième produit partiel (a — 6-j-c — d) p — ap — bp-\-cp — dp devant être ajouté au résultat dès deux opérations précédentes s’écrit tel qu’il est au produit général ; chacun de scs termes y a le même signe que le terme correspondant du multiplicande. Or le multiplicateur que nous venons d’employer est précédé du signe -f . Enfin le quatrième produit partiel [a — b -f- c — d) q — aq — bq cq ■ — dq devant être soustrait du résultat déjà obtenu, on doit

COUltS D'ALGÈBRE.

changer tous les signçs pour l’écrire à la suite des trois précédents ; chacun de scs termes a donc, dans le produit général effectué, un signe contraire à celui du terme correspondant du multiplicande. Or le terme du multiplicateur que l'on vient d’employer est précédé du signe — .

En résumant, on trouve la règle suivante :

Règle. Pour multiplier un polynôme par un polynôme, on multiplie successivement tout le multiplicande par chacun des termes du multiplicateur , en appliquant la règle n° 18 concernant les monômes , et agissant pour les signes de la manière suivante ■■ quand le terme multiplicateur est précédé du signe + on donne à chacun des produits monomes qu’il fournit le signe du terme correspondant du multiplicande ; quand le terme multiplicateur est précédé du signe — , on donne à chacun des produits monomes qu’il fournit un signe contraire à celui du terme cotrespondant du multiplicande.

Cela fait, un additionne tous les produits partiels obtenus , et leur somme réduite à la plus simple expression est le produit demandé des deux polynômes proposes.

Ou énonce habituellement d'une autre manière la partie de cette règle qui concerne les signes.

On peut faire les observations suivantes :

Un terme du multiplicande peut avoir le signe -f- ou — ; si on le multiplie par un terme précédé du signe le produit inonome obtenu aura , d’après ce qui précède, le même signe -f- ou — que le terme du multiplicande; ce que l’on énonce d’une manière abrégée comme il suit :

multiplié par -f- donne

par -f- donne —

2° Un terme du multiplicande ayant le signe -}-■ ou — , si on le multiplie par un terme précédé du signe — , le produit monome aura , d’après ce qui précède, le signe contraire il celui du multiplicande , c’est-à-dire le signe — ou -f- ; ce qu'on énonce en abrégé, comme il suit :

-f- multiplié par — donne —

— par — donne -j-.

Voici d’après celà l'énoncé le plus habituel de la règle de multiplication.

22 . Règle. Pour multiplier un pohjnome par un polynôme, on multiplie successivement tout le multiplicande par chacun des termes du multiplicateur, en appliquant la règle concernant les monomes et se conformant à ce qui suit pour les signes des divers termes du produit:

+ multiplié par -f- donne 4-; — par + donne — ; -f- par — donne — ; — par — donne -)- (*,'• Puis on additionne.