Application. On propose de multiplier

5a 4 6 3 — 7 a 3 fi 3 — 2a’6-j-6« par Ua’ i b , — Za î b — 9a -j- U.

Pour plus de commodité dans la réduction des termes semblables, on écrit autant que possible ces termes - les uns sous les autres, et on dispose habituellement l’opération comme il suit :

5a*6 s — 7a 3 6 3 — 2 a 5 6 + 6 a ha s 6’— 3 a'b —9 a + li 20a 7 6 s -28a e 6 4 - 8a s 6 3 +2Aa 4 6 3

— 15a 6 6 4 +2la ! 6 3 + 6a 1 6 î -18a 3 6

— /i5a 3 6 3 +63a 4 6 5 +18a 3 & - 5 An 3

-f20a 4 6 3 — 28a 3 A 3 — 8 a'b +2 ha

.fmpimé.j 20a 7 6 3 -43a 6 6 4 -32a 3 6 3 +20a 4 6 , +93a 4 6*-28a 3 6 , -8a ! 6-5Aa î +2Aa

Le premier produit partiel s’obtient en multipliant tout le multiplicande, terme à terme, parùa 3 fc*; on s’énonce ainsi : + par 4donne -j-; 5a*6 3 xAa 3 6*=20a 7 6*; — par -}- donne — ; 7 a 3 6 s xAa 3 6 2 donne 28a (, A 4 ; on écrit — 2Sa c /( 4 ; et ainsi de suite; le deuxième produit partiel s’obtient de môme en multipliant tout le multiplicande par le second terme du multiplicateur; mais, cette fois, le terme employé du multiplicateur étant dans celui-ci précédé du signe —, chaque terme de ce deuxième produit partiel a un signe contraire îi celui du terme correspondant du multiplicande. On s’énonce ainsi : -J-par — donne — ; 5a'6 3 X3a ï A = 15a 6 6 4 ; on

(1) Ou bien , on dit encore quelquefois : Quand les 2 monomes multipliés ont le même signe, leur produit a le signe + ; quand ces deux monomes ont des

signes contraires, leur produit a le signe — .

22 COUDS ü’ALOÉBRE.

écrit — 15« 6 6‘, etc... On a terminé en additionnant les quatre produits partiels.

24. Dans l’opération précédente nous avons ordonné le multiplicande, le multiplicateur et le produit par rapport à une même lettre a. Cela est plus régulier et plus commode.

Ordonner un polynôme par rapport à une lettre a , c’est disposer les termes dans un ordre tel que les exposants de cette lettre aillent eu diminuant ou en augmentant. Dans le premier cas le polynôme est dit ordonné par rapport aux puissances décroissantes de a qui s’appelle la lettre ordonnatrice. Dans le deuxième cas le polvnome est dit ordonné par rapport aux puissances croissantes de la lettre ordonnatrice.

En jetant les yeux sur les deux facteurs de l’opération précédente et sur le produit , on verra que chacun de ces polynômes est ordonné par rapport aux puissances décroissantes de la lettre a.

5 a*6 3 — 7 a 3 6 s — 2a~b -f- G« àa 3 fc s — 3 a*b — 9a U

Ils se trouvent aussi , par hasard, ordonnés par rapport aux puissances décroissantes de la deuxième lettre b ; nous n’avons cherché qu’à les ordonner par rapport à a.

Les facteurs étant ainsi ordonnés par rapport à une lettre, on fait plus aisément la remarque suivante, importante pour la division de deux polynômes.

25. Théorème. Les [acteurs d'une multiplication étant ordonnés tous deux par rapport aux puissances décroissantes ou aux puissances croissantes d’une même lettre , le premier terme du produit ordonné de la même manière que ses fadeurs est toujours , sans réduction, le produit du premier terme du multiplicande par le premier terme du multiplicateur.

Le dernier terme du produit est sans réduction aucune le produit du dernier terme du multiplicande par le dernier terme du multiplicateur.

En effet prenons pour exemple la multiplication précédente :

5a 4 i 3 — la^lr — 2a i b -)- 6a h a* b* — 3« 2 fi — 9rt -f- b

L’exposaut de a dans le premier produit monome 5 a*6*xft«*6* est la somme h + 3 des plus forts exposants de a dans le multiplicande et le multiplicateur. L’exposant dccette lettre dans chacun des autres produits monomes est la somme de deux exposants dont un au moins est inférieur à U ou 3, l’autre n'étant pas supérieur à 3 ou U. I/expo’sant de a est donc moindre que h 3 ou 7 partout ailleurs que dans le premier produit monome 5aV/*x ha'b* — 2üa~b*. Ce terme ne doit donc pas avoir de semblable parmi tous les termes du produit général, qt doit se trouver écrit, sans Réduction . en tète du produit ordonné , après l’application complète de In règle.

On démontre de même que le produit 6 axU ne se réduit avec aucun autre terme , et s’écrit à la fin du produit ordonné.

20. Coroffxire. Le produit de deux polynômes, ou bien, d'un polynôme par un monome a toujours au moins deux termes, quelles qu’aient été les réductions de termes semblables.

11 est facile de voir d’ailleurs que le maximum du nombre des termes d’un produit est le nombre des termes du multiplicande multiplié par le nombre des termes du multiplicateur.

27 . S’il y a dans un facteur plusieurs termes renfermant la lettre ordonnatrice avec le même exposant, on ordonne ces termes entre eux par rapport ît une autre lettre. Ou mot ordinairement la puissance commune en facteur commun, en écrivant l’ensemble de ces termes de l’une des manières suivantes :

Cela fait , on considère la quantité écrite entre parenthèses ou bien en colonne verticale , à gauche de la barre , comme un simple coefficient, de sorte que l’ensemble ci-dessus est considéré comme un seul terme Mo 9 ; la même disposition ayant lieu pour les deux facteurs de la multiplication , on est dans le cas ordinaire , et on applique la règle générale. «

Ou obtient ainsi au produit des termes de la forme Ma 9 X M’a*= MxM'. a"; seulement le produit MxJl' s’obtient en multipliantle

COCRS D’ALGElîRB.

polynôme .11 par M'; le produit obtenu, on l’écrit entre parenthèses ou en colonne, en mettant a* à droite, et en haut de la barre , comme plus haut a 5 (*).

Voici un exemple :

Multiplicande. . . — 26*

Multipjicateur. . . 26*

fl’ "+ 3i

Produit par 26’

Produit par — hb 1 +76’

Produit par 3b

Produit total simplifié.

Nous n’avons pas écrit les multiplications partielles qui s’effectuent à part; ce sont des multipiications ordinaires, comme celles-ci :

(*) Pour justiüer cette méthode , on conçoit chaque multiplicateur ou coefficient polynôme , — 2b‘ + 4b 3 4- 3b* = M , remplacé par sa valeur numérique m, ce qui est permis. Alors, au lieu de Ma 5 , il n’y aura qu’un terme mnnome ma 5 ; de même au lieu de M‘a 3 au multiplicateur, il y aura m'a 3 . On rentre ainsi dans le cas- ordinaire; 1^ produit contiendra le terme m X m'a 8 . Remplaçant alors m X »* par l’expression algébrique équivalente M X M', on obtient le résultat indiqué dans le texte.

MULTIPLICATION. 25

— 26»-)-66 3 -!~36 s — 3fo a +5fe

-66 e -fl86 5 -U6‘-156 3 — 66 4 +256 3 — 256 s

On a ici à effectuer, en outre de ces deux premières multiplications partielles, les suivantes :

(— 26*-f66 9 +36 ! ) (36-1), etc.

Remarques diverses.

20 . On appelle degré d’un monome entier la somme des exposants des lettres qui y entrent. Ex. : 5a 3 6‘c est du huitième degré.

Le degré d’un polynôme entier, par rapport à des lettres qui y entrent , est le degré le plus élevé parmi ceux de ses termes. Ex. : 5o‘6 — 7a6 3 c* + 8a6 5 c 2 — kab est du huitième degré par rapport aux lettres a, 6, c.

On considère aussi le degré par rapport d une seule lettre.

Le degré d’un monome entier par rapport à une lettre est l’exposant de celle lettre dans ce monome •, 5a6x 3 est du troisième degré enx.

Le degré d’un polynôme entier par rapport à une lettre est le plus haut exposant dont cette lettre est affectée dans le polynôme. Le polynôme ci-dessus est du quatrième degré par rapport d a.

Un polynôme est homogène quand tous ses termes sont du même degré; dans ce cas, le degré du polynôme est évidemment le degré de chacun de ses termes.

29 . Le degré du produit de deux monome s est évidemment égal à la somme des degrés de ses facteurs. Ex. : 5a 3 6' ! X 3a 7 6 = 15a 1# 6 3 .

Si les deux facteurs d'un produit sont homogènes , le produit est homogène ; le degré du produit est la somme des degrés des deux facteurs.

Si , par exemple, le multiplicande est du degré 5 et le multiplicateur du degré 3, le produit sefa homogène et du huitième degré. *

Eu effet . chaque terme monome du produit général , avant la

COURS lï’AI.GiîBBE.

réduction des leruies semblables , est le produit d’un terme du cinquième degré par un terme du troisième degré; il est du hui- , licnic degré; la réduction des termes semblables ne modiiie pas les exposants.

Voici un exemple

5fl 4 6— 3a 3 £» ? -j- 2a s 6 3 — 7 ah'

à multiplier par ha 3 — 5a t h -f-7a £>’— 2Ü> S .

50. Voici quelques exemples de multiplication utiles à remarquer :

1" (a-j-b) (a — f- 6) ou (a fc)* = «* —J— — |— /j’ ;

2° (« — b) { a — b) ou (a — b)* = a ! — 'lab -f- b 2 ;

a cl b pouvant représenter des quantités quelconques , les résultats précédents ont la plus grande généralité ; ce sont des formules qui démontrent les théorèmes suivants :

1" Le carré de la somme de deux quantités est égal au carré de la première quantité, plus deux fois le produit de la première quantité par la seconde, plus le carré de la seconde.

2“ Le carré de la différence de deux quantités est égal au carré delà première quantité , moins deux fois le produit de la première par la seconde , plus le rarré de la seconde.

3° Le produit de la somme de deux quantités par leur différence est égal à la différence des carrés de ces quantités ; de sorte que la différence des carrés et ce produit peuvent toujours se remplacer mutuellement.

Exemples :

l‘> (3 a'b'c 4- 5 a*bc*)* — 9a*b*c* + 30a'6*c* -f 25 o‘6V.

2° (5 a 3 b — 'lac) - = 25a'7r — 20«‘/>e -f UaV.

( (5 u 3 b -j- 2«r) (5a 3 6 — 2ac) = 25a G 6 ! — /mV,

' i( — 5n 3 ô-}-2ac) (— 5a 3 » — 2ac) = 25a c 6 ! — haïe*..

Remarque. Quand on applique le troisième théorème (a -f- b)

(a — b) = a s - b s , le premier carré, celui qui a le signe -f- dans la différence des carrés est celui de la quantité qui a le même signe dans les deux facteurs.

DIVISION

DIVISION

31 . Le but de la division est le môme qu’en arithmétique. On donne un produit de deux facteurs, nommé dividende , l’un de ses facteurs, nommé diviseur ; on propose de trouver l’autre facteur, nommé quotient.

Nous ne nous occuperons actuellement que de la division de deux expressions algébriques entières.

Dans la division de ces expressions il peut se présenter deux cas:

1° Le dividende est le produit du diviseur par une expression algébrique entière que la division fait connaître.

On dit alors que la division se fait exactement , que le dividende est divisible par le diviseur, est un multiple du diviseur.

2" Le dividende n’est pas le produit du diviseur par une expression algébrique entière.

Nous raisonnerons d’abord comme si le premier cas avait lieu, afin de pouvoir nous appuyer simplement sur la multiplication des expressions algébriques entières que nous venons d’étudier. Nous chercherons ensuite comment se manifeste le deuxième cas, et nous dirons quelle utilité on peut encore tirer alors des procédés de la division algébrique.

32. Division de deux monomes. Il résulte du n° 27, que le quotient est un monome.

Soit par exemple : à diviser 12 a*6V par 3 «6*.

Nous supposerons que la division doit se faire exactement.

Coefficient. Le coeilicient du dividende est le produit du coefficient du diviseur par celui du quotient (n° 18). Connaissant un produit, 12, de deux facteurs et un de ses facteurs 3, on aura l’autre facteur, le coefficient du quotient, en divisant 12 par 3 ; 12 : 3 = h.

Exposant. L’exposant d’une lettre a dans le dividende est la somme des exposants qui affectent celte lettre dans le diviseur et le quotient (n’18). Connaissant une somme U et l’une de ses parties 1, on aura l'autre partie, l’exposant du quotient, en retranchant 1 de h ; k — 1 = 3. Ou écrit a 3 au quotient.

Même raisonnement pour b; 3 — 2 = 1. Nous écrirons b au quotient.

Quant à c, lettre qui n’entre pas au diviseur, nous ne diininuc-

COURS d’algèbre.

rons pas son exposant, et nous écrirons c ! au quotient. En effet, la lettre c doit évidemment entrer au quotient; cette lettre n’entrant que dans l’un des facteurs doit avoir le même exposant dans ce facteur que dans le produit (règle du n° 18). Le quotient de 12 a 4 6V par 3 ab'- est donc en définitive h a*bc*.

Nous sommes conduits à cette règle :

55. Règle. Pour diviser un monome par un monome, divisez le coefficient du dividende par le coefficient du diviseur. Écrivez ensuite à droite de ce quotient numérique chaque lettre du dividende, affectée d'un exposant égal à l'excès de son exposant dans le dividende sur son exposant dans le diviseur.

D’après cela, si une lettre entre au dividende sans entrer au diviseur, on doit l’écrire au quotient avec le même exposant qu'au dividende.

Nous pourrions ajouter :

Si une lettre a le même exposant dans le dividende et le diviseur, ne l’écrivez pas au quotient.

Ex. : 12 o‘6 s c’rf s : 3 ai'd* = tia 8 6c*. (1)

En effet, si d entrait au quotient, l'exposant de cette lettre dans le dividende serait plus fort que l’exposant 3 qu’elle a dans le diviseur.

54. Tout ce que nous venons de dire est vrai et applicable toutes les fois que le quotient doit être entier. Lors donc que la règle ne peut être appliquée, en tout ou en partie, c’est qu’il n’existe pas de quotient entier.

Le quotient de deux monomes n’est donc pas entier .•

Quand le coefficient du dividende n’est pas exactement divisible par le coefficient du diviseur.

Quand l’exposant d’une lettre au diviseur est plus grand que son exposant dans le dividende.

Quand il y a au diviseur une lettre qui n’entre pas dans le dividende.

Il suffit d’une seule de ces circonstances pour qu’il n’existe pas de quotient entier.

Le quotient est alors une fraction algébrique. ( V . au n° è9.)

5o. Exposant zéro. Nous avons dit tout à l’heure : si une lettre

a le même exposant dans le dividende et dans le diviseur, ne l’écrivez pas au quotient. 11 arrive quelquefois qu’on conserve celte lettre parmi les facteurs littéraux du quotient, mais en lui donnant pour exposant zéro. Ex. :

12 a'&Vd 3 : B o6 ! d 3 = U a^bcH" (2)

De cette manière on conserve dans le résultat de l’opération la trace de la lettre d qui existait dans les données , et on le fait sans inconvénient moyennant la convention suivante :

Une lettre quelconque affectée de l’exposant zéro a pour valeur numérique 1 ; Ex.: d°= 1.

D’après cela k a 3 bc i d a = k a 5 bc *, et les égalités (t) et (2) s’accordent parfaitement.

Désirant conserver la trace de la lettre d , on est conduit à la notation et à la convention précédente en appliquant jusqu’au bout la règle du n° 32 , en ce qui concerne les. exposants. :

12a*6 3 c 5 d 3 : 3 ab 2 d* — tia i 1 6 5-3 c*rf 3-3 ;

3 — 3 = 0 ; de là l’exposant zéro. Quant à la convention rf° = 1,

elle est naturellement amenée par cette égalité évidente — = 1 ,

mise à côté de cette égalité de convention : — = d°.

Division de deux ■polynômes.

Supposant le quotient entier, on s’appuie sur ce principe démontré n" 25 : Les deux facteurs d’un produit étant ordonnés par rapport à une même lettre, le premier terme du produit ordonné de la même manière que ses deux facteurs est toujours, sans réduction, le produit du premier .terme du multiplicande par le premier terme du multiplicateur ; le signe de ce premier terme du produit se déduit des signes de ses deux facteurs monomes par application de la règle de multiplication de deux polynômes (22).

Cela posé , soit à diviser un polynôme par un autre polynôme. Nous pouvons ordonner ces polynômes par rapport aux puissances décroissantes d’une même lettre, et concevoir le quotient or-

COURS D’ALGÈBRE

donné de la même manière. Cela fait, le dividende étant un produit dont le diviseur et le quotient sont les deux facteurs, le premier terme du dividende est, d'après le principe que nous venons de rappeler, le produit du premier terme du diviseur par le premier terme du quotient; nous obtiendrons donc le premier terme du quotient en divisant le premier terme du dividende par le premier terme du diviseur, suivant la règle indiquée pour la division de deux monomes. Le signe de ce premier terme du quotient se déduit des signes du iuonome dividende et du monomc diviseur par application de la règle pratique suivante :

+ divisé par -(-donne ■*(-;■ — par -}- donne —

+ par — donne — ; — par — donne -{-.

Celte règle est la môme que pour la multiplication; elle se déduit facilement du principe fondamental ci-dessus. (V. la note cidessous.) (*)

Le 1 er terme du quotient ainsi obtenu, on observe que le divi-

(■) l'on r trouver la règle des signes dans la division , on se fonde sur la proposition indiquée dans la note qui est nu lias de la page 21. Cette proposition a sa réciproque que voici : 1* si le produit de deux termes a le signe 4 , ses deux facteurs ont le même signe ; en ciTcl , si ces facteurs avalent des signes contraires, le produit aurait le signe — . 2° Si le produit de deux monomes a le signe — , ses deux faeteurs ont des signes contraires; autrement, etc.

Cela posé, on considère dans la division les divers cas qui peuvent se présenter; nous les réunissons dans le tableau suivant:

Dividende.

Diviseur.

Quotient.

1 " Cas. + divisé par +. Le dividende ( produit ) ayant le signe +, ses deux facteurs doivent avoir le même signe; l’un d’eux, déjà cônnu , le diviseur, a le signe -f, donc l’autre, c’est-à-dire , le quotient, doit avoir le signe -4 ; 4- divisé par + donne 4-

2* Cas. — par +. Le dividende ( produit) a le signe — ; ses deux facteurs doivent avoir des signes contraires ; l’un d'eux déjà connu , le diviseur, a le signe 4-; l’autre, c’est-à-dire, le quotient, aura donc le signe — ; — par 4donne — ; on continuerait de la même manière, pour les deux autres cas, ia vérification de ia règle, que nous avons donnée.

dende est la somme des produits partiels du diviseur multiplié successivement par les différents termes du quotient (1 er , 2“, 3 e , 4 e ... termes) ; si on soustrait de ce dividende le produit du diviseur par le premier terme actuellement connu du quotient , en ayant égard à son signe , (règle du u" 22), le reste sera le produit du divi- ' seur par le polynôme formé des 2 e , 3°, 4 e ... termes du quotient.

Cette soustraction faite , le premier terme du reste ordonné est, d’après*le même principe ci-dessus rappelé, le produit du 1 er terme du diviseur par le 2’ terqje du quotient ; donc en divisant le premier terme du reste par le premier terme du diviseur (règle des monomes, n° 31), on obtiendra le second terme du quotient; le signe de ce deuxième terme se déduisant de ceux des monomes

divisés par application de la règle ci-dessus énoncée. En multif pliant ensuite l£ diviseur par ce'second terme, suivant. Iturègta du ' *• n° 22 , on obtiendra pour second reste le produit du diviseur par l’ensemble des 3 e , 4”.. . termes du quotient. Raisonnantsur ce reste comme sur le dividende proposé et sur le premier reste, on est conduit à diviser son premier ternie par le 1 er terme du diviseur ; ce qui donne le 3 e terme du quotient; ainsi de suite. On voit assez la marche à suivre pour trouver les termes successifs du quotient .de deux polynômes donnés. «

Néanmoins , nous croyons bien faire en formulant la règle pratique dégagée de tout raisonnement.

57. Règle. Pour diviser deux polynômes l'un par l’autre , on les ordonne d’abord par rapport aux puissances décroissantes d’une même lettre; cela fait , on divise le 1 er terme du dividende par le 1 er terme du diviseur (règle du n° 31), ce qui donne le premier terme du quotient; le signe de ce premier terme se déduit des signes des monomes divisés par application de la règle suivante :

-f- divisé par -f- donne -f-; — par -f- donne — ; -f- par — donne — ; — par — donne +. On multiplie le diviseur par ce 1 er terme du quotient en appliquant la règle du ( n° 22 ) ; on retranche le produit du dividende; on divise le I e '' terme du reste par le 1 er terme du diviseur ; le quotient ainsi obtenu est le second terme du quotient; le signe de ce second terme se déduit des signes des deux monomes divisés par application de la règle ci-dessus. On multiplie tout le diviseur par ce 2' terme du quotient ( règle du n" 22); on retranche le produit du premier reste obtenu. On divise le premier

COURS D ALGEBRE.

terme de ce nouveau reste par le 1" terme du diviseur ; on a ainsi le 3' terme du quotient. On opère avec ce terme comme avec les deux autres. On continue la même série d'operations tant que le 1 er terme du reste obtenu est exactement divisible par le 1 er terme du diviseur, jusqu’à ce qu’on ait un reste nul, ou bien qu’on soit conduit à écrire au quotient un terme renfermant la lettre ordonnatrice avec un exposant moindre que la différence entre les plus-faibles exposants de cette lettre au dividende et au diviseur.

555. Tour appliquer notre règle , nous^iviserons le produit du n° 23 par un de ses facteurs , le multiplicande.

Connue il est facile d’ordonner des polynômes donnés, nous poserons notre division en écrivant nos deux polynômes tout ordonnés.

20a 7 fc 5 -ù3a e f/-32a'^93ff‘b > +20a l 6 3 -28a , 6 ! -5/4a ! -8a ! <»+2tia +28o p 6‘+8a 8 6 , -2fia'6 i

1 er reste. - 15« c /»‘-2/ia s /» 3 +69a 4 /» ! +2üa 4 // 3 -28a 3 6 2 -5/ia 5 -8a ? /(+2Zia -2 1 « 5 fe 3 -6« 4 /f ! +18a 3 /> *

5crb*-lePb*-2a*b-\-6a

2 e reste. -45a s 6 , +63a 4 6 3 +2üa‘fc 3 -28a 8 6 , +18a > 6-5/ia , -8a*6+2/m -63 a 4 /; 2 -18^I 8 /^+5/^a ,

3 e reste.

h c reste.

L’application de la règle se suit facilement sur cet exemple. On divise 20a 7 6 5 par âu 1 /* 3 , ce qui donne ùa 3 t s pour premier terme du quotient. On multiplie ensuite tout le diviseur paria 3 /» 1 ; pour retrancher ce produit du dividende, on change le signe de chaque termp à mesure qu’on l’obtient, et on l’écrit sous le dividende, en faisant correspondre autant que possible les termes semblables ; on achève ensuite d’évaluer la somme algébrique du dividende et du polynôme écrit au dessous. Cela fait, la soustraction est terminée, et on a obtenu le premier reste. (V. la remarque cidessous.)

On divise le premier terme — 15a'/» 4 de ce reste par 5a 4 6 3 ; — par -f donne — ; on trouve — 3 a'b pour deuxième terme du quotient ; on multiplie tout le diviseur par — 3 a-b, et on écrit tous les termes du produit, changés de signes, sous le premier reste;

DIVISION DES POLYNOMES.

on fait ensuite la somme algébrique qui est le deuxième reste cidessus On divise le premier terme de ce reste par ûa l 6 3 , ce qui donne le troisième terme du quotient..., etc.

On a obtenu, à la lin , zéro pour reste ; on en conclut que le i dividende est exactement le produit du diviseur par le quotient Aa 3 6 s — 3a*6 — 9a ~f- U.

Remarque. Le premier terme du dividende, et le premier terme du produit qu’on en retranche, d’après la règle, sont égaux, et doivent se détruire mutuellement; en effet, chacun de ces termes est le produit du premier terme du diviseur par le premier terme du quotient. On sait cela d’avance; on peut donc, lors de la soustraction , se dispenser de former et d écrire ce premier produit monome. On barre tout simplement le premier terme du dividende, et on commence la multiplication du diviseur au deuxième terme seulement.

La même observation peut se faire à chaque division partielle.

Lors de la soustraction qui suit cette division , on peut doue se dispenser de former et d’écrire le produit du premier terme du diviseur par le terme que l’on vient de trouver au quotient. On barre le premier terme du reste qui sert de dividende, et on commence la multiplication prescrite, au deuxième terme du diviseur seulement; c’est ce que nous avons fait.

59. Il peut y avoir dans le dividende et dans le diviseur plusieurs termes renfermant la lettre ordonnatrice avec le même exposant. Alors on ordonne comme dans la multiplication du n° 87.

Le dividende est alors de la forme Ma'+Na’-f- Pa*... et le diviseur de celle-ci; M'a 5 + N'a* -f- etc... SI, SI',... N, N', etc., étant des polynômes ou des monomes indépendants de a.

On applique alors la règle générale de division , en considérant SI , N,... SI', N'... comme de simples coefficients de a (*). Seule-

(") Pour Justifier cette méthode, il sufllt de concevoir momentanément M, M', . . . N, N 1 . . . remplacés par leurs valeurs numériques m, m', . . . n, w . .. La règle (3T) s’applique alors immédiatement, sans difficulté. La division une

fois faite, rien n’ empêche de remplacer la quantité — a 3 par 1 expression équl* M

valente — a>, et ainsi des autres coefficients numériques ; ce qui nous ra-

mène les résultats consignés dans le tableau ci-après (page 35),

;ours d'algèbre.

ment dans une division partielle , celle de Ma" par M'a s , par exemple , au lieu de diviser deux monomes , od divise deux polynômes M et M'. On effectue cette division à part. Si elle donne un quotient polynôme, on l’écrit à la place marquée, de manière que le quotient se trouve disposé comme ont été disposés le dividende et le diviseur. Du reste, la multiplication du diviseur par le premier terme du quotient, et celles qui suivent, s’effectuent comme dans l’exemple du n° 3ü. Pour soustraire les produits partiels, on les écrit comme il est indiqué dans le tableau ci-contre. Dans chaque soustraction, on barre le premier terme du dividende, polynôme ou monome, et on ne commence la multiplication du diviseur qu’au deuxième terme.

DIVISION DES POLYNOMES.

PS

CO

es

CS