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3 e reste.

COURS d'algérre.

40. Nous avons supposé dans la démonstration du n° 36 que le dividende était le produit exact du diviseur par un quotient entier. Or il peut arriver qu’il n’en soit pas ainsi; le plus souvent on ne sait pas d’avance si une division proposée peut, ou non , se faire exactement.

Cependant on applique dans tous les cas la règle précédente.

Quand on arrive au reste zéro , le dividende est évidemment le produit du diviseur par le quotient entier obtenu , qui est ainsi le quotient exact et complet.

Réciproquement , si le dividende est le produit du diviseur par une quantité entière, l’application de notre règle' doit conduire au resté zéro.

En effet, dans ce cas, le raisonnement du n° 34 s’applique de tout point ; l’emploi de la règle fait trouver nécessairement tous les termes du quotient cherché , et conduit au reste zéro ; car elle conduit à retrancher successivement du dividende toutes les parties qui le composent.

Si donc la règle ne peut s’appliquer jusqu’au bout, et conduire au reste zéro , c’est que le dividende n'est pas le produit du diviseur par une quantité entière; la division ne saurait par aucun autre moyen se faire exactement. •

Réciproquement , quand la division ne doit pas se faire exactement , la règle ne conduit jamais au reste zéro.

CARACTÈRES AUXQUELS ON RECONNAÎT QUE LA DIVISION NE PEUT SE FAIRE EXACTEMENT.

41. 1" caractère. Là division ne peut se faire exactement quand le premier ou le dernier terme du dividende ordonné par rapport à une lettre n’est pas exactement divisible par le premier ou le dernier terme du diviseur. Elle ne peut non plus se faire exactement quand le premier ou le dernier terme d'un reste ordonné n’est pas divisible exactement par le premier ou le dernier terme du diviseur ordonné de la même manière que ce reste.

Dans chacun de ces cas, en effet, la règle ne peut s’appliquer jusqu’à donner le reste zéro.

2 e caractère. La division ne peut se faire exactement quand on est conduit d écrire au quotient un terme dont l’exposant est moin •

DIVISION DES POLYNOMES.

dre que la différence entre les plus faibles exposants du dividende et du diviseur (*). Elle est également impossible quand on est conduit à mettre au quotient un exposant plus grand que la différence entre le plus fort exposant du dividende et le plus fort exposant du diviseur.

En effet-, quand la division se fait exactement , le plus faible exposant du dividende est, d’après la règle de multiplication, la somme des plus faibles exposants du diviseur et du quotient (n° 25); le plus faible exposant du quotient est donc la différence entre le plus faible exposant du dividende et le plus faible exposant du diviseur. Si donc on trouve au quotient un exposant plus faible que cette différence , c’est que la division ne doit pas se faire exactement.

Même démonstration pour le deuxième cas où il s’agit des p.lus forts exposants.

Ce 2 e caractère manifeste souvent l’impossibilité d’une division plus promptement que le premier. De plus il y a des divisions où le 1" caractère ne se manifeste pas , quelque loin qu’on continue l’opération, tandis que le second vient nécessairement avertir que la division ne peut se faire exactement; ex. : division de 1 — 2x-\kx % — 7-r*- {-3a; 5 par 1 — 3x — x l , dans laquelle les deux termes seraient ainsi ordonnés par rapport aux puissances croissantes de ,r .

Le 2 e caractère est donc en réalité le principal; il faut faire attention quand il se manifeste.