Soit pour exemple <i diviser

12a 7 6 4 — 15a e 6 3 — 6a s &* + 21a 4 6 par Za’-b.

Le raisonnement général et la règle du n" 36 s’appliquent ici. Cependant il est peut-être plus simple de raisonner comme il suljt :

Le quotient est un polynôme ; il doit avoir autant de termes que le dividende. En effet, Supposons le quotient trouvé et réduit à sa plus simple expression; les produits de ses termes par le diviseur sont évidemment irréductibles entre eux ; chacun de ces produits est donc égal à un des termes du dividende.

On obtient donc le quotient en divisant successivement chaque terme du dividende par le diviseur.

On trouve ainsi pour le quotient de la division ci-dessus, le polynôme

-f Ua*b 3 — 5 aW — 2a s fi + 7a*.

Pour qu'un polynôme soit exactement divisible par un monome , il faut cl il suffi que chaque terme du polynôme soit divisible par ce monome.

44. 11 peut arriver que tous les termes d’un diviseur polynôme renferment la même puissance d’une certaine lettre, par exemple a 3 . Alors on met cette lettre en facteur commun; ce diviseur prend la forme. M'a 3 . On ordonne le dividende par rapport aux puissances, de cette lettre . dont chacune est mise en facteur commun.

Le dividende ayant pris la forme Ma 7 -f-Na 6 -f-..., on opère comme dans le cas précédent , en traitant le diviseur comme un monome; on divise Ma 7 par M'a 3 , Na 6 par M'« 3 , etc. . . Seulement

les divisions de coefficients, — , - 7 , sont des divisions de poly-

DIVISION DES POLYNOMES. 39

uomes. Nous avons vu , page 33, connue on justifie cette méthode. La condition de divisibilité est évidente.

45. Si une lettre, a, par exemple, entre au dividende sans entrer au diviseur, on ordonne le dividende par rapport à cette lettre.

Ce dividende est alors de la forme Ma‘4-Na 5 -{-Pa*-|-Qa-f-B; soit M' le diviseur. On est dans le cas précédent.

On peut aussi faire ce raisonnement ;

Le quotient doit renfermer toutes les puissances de a qui existent au dividende; car si une d’elles manquait, la multiplication du quotient par M' ne l’introduirait pas. Le quotient est donc de la forme M"o* -f-N"a 5 -j-P , ’o*-j-Q"a-j-R". Le produit par le diviseur est égal à M"xM'Xa 4 +N"xM'xa 3 -.. Ce produit devant être égal au dividende , on trouve M"xM'xa‘=Ma‘, d’où

M = M 'xM' et = ; puis N" =^, etc.

On est donc conduit à diviser chaque coefllcient d’unp puissance de a par le diviseur, puis à écrire à côté du quotient cette puissance de a.

Pour que la division- se fasse exactement , il faut donc que le coefficient de chaque puissance de a soit divisible par le diviseur tout entier.