APPLICATIONS DE LA PIVISION

46. On dit qu'une expression algébrique est entière par rapport d une lettre quand cette lettre n’y entre dans aucun diviseur ni sous un radical.

Une pareille expression peut renfermer des nombres ou d'autres lettres dans un diviseur ou sous un radical.

Une division se fait exactement par rapport à une lettre quand elle conduit à un quotient entier par rapport à celte lettre , et au reste xéro , quand même i on serait obligé, pour arriver là, d'admettre des coefficients fractionnaires de cette lettre.

Quand le dividende n’est pas le produit du diviseur par une expression algébrique entière par rapport à une lettre x , le but de la division est de décomposer ainsi le dividende, D = d X Q + R , Q et ^tétant des quantités entières par rapport à cette lettre x qui sert de lettre ordonnatrice, U étant en x de degré inférieur au diviseur d. On parvient à opérer cette décomposition en ordonnant le dividende et le diviseur par, rapport aux puissances décroissantes de x, et appliquant S ces deux polynômes la règle générale de division, à con-

COURS D’ALGLRRE.

rlition toutefois qn’on admettra des coefficients fractionnaires indépendants de cette lettre, s’il s’en présente. Cela résulte de ce qui a été dit n° 36, remarque.

Division, par x — a, n’cN polynôme entier par rapport a x.

47 . Théorème. Pour obtenir le reste de la division par x — a d’un polynôme quelconque, entier par rapport à x, sans effectuer cette division, il suffit de remplacer x par a dans ce polynôme; le résultat de cette substitution est le reste demandé.

Soit pour exemple Aï* + Bx‘ + Cx J + Dx ! + Ex + F à diviser par x— o.

La première division partielle diminue seulement l’exposant de x d’une unité dans le premier terme du quotient; le premier reste obtenu à l’aide de ce terme du quotient sera évidemment entier par rapport à x, et ainsi de suite. On sera évidemment conduit à mettre au quotient une série de termes entiers par rapport à x. Le diviseur ne renfermant x qu’à la première puissance , la division s’arrêtera seulement lorsqu’on sera arrivé au reste zéro , ou à un reste indépendant de x. Soit R le reste , dans tous les cas , et Q le quotient entier.

Nous avons l’égalité

Ax» + Bx‘ + Cx a + Dx> + Ex + F = QX(* — a) + R.

Si nous remplaçons x par a dans cette égalité, elle devra toujours subsister, diaprés la définition des opérations algébriques (10). Par cette substitution, Q prend une certaine valeur Q' ; x—a devient a— a=0; R indépendant de x ne change pas. On trouve ainsi :

Aa ! + Ba* + Ca» + Da* + Ea + F=Q'XO + R (*), où 1 Ao» + Bo‘ + Ca 3 + Do» + Ea + F=Ç,

ce qui démontre notre proposition.

48 . On demande quelquefois la loi du quotient, c’est-à-dire les relations qui unissent ses différents termes les uns aux autres.

Pour trouver cette loi, commençons la division «d’après la règle générale

Ax5 + Bx* + Cx a + Dx»-f Ex + Fl x — a

J- A/it 4 |- : — r 1

^ Aa \x* + Aa |<r® + etc.

1" reste Aalx*+Cx>+ etc....

+ Ao*|x 3 + Ba I

2* reste An 5 x» -) ■ Dx« -f Ex + F

+ Ba + C |

l etc. . . .

Remarquons d’abord que clique reste , en outre de son premier terme, se

(*) Q' a toujours une valeur finie quand x a une valeur finie. On appelle valeur finie un nombre tel qu’il y en a de plus grands que l»ii.

DIVISION PAR X — fl. Ul ’

cofnpose exactement devons le? termes du dividende qui sont en x de degré inférieur à ce premier terme.

Le premier terme, Ax k , du quotient, s’obtenant facilement, on cherche à déduire le deuxième terme de celui-là, le troisième terme du deuxième, et ainsi de suite. Pour trouver la loi, observons que chaque terme du quotient, à partir du deuxième , n’est que le premier terme d’un reste dans lequel on a simplement diminué l’exposant de * d’une unité. Voyons donc comme le premier termo de chaque reste se déduit du terme du quotient après lequel on l’obtient. Considérons , par exemple , le terme Mz 3 du quotient ; pour obtenir le reste suivant, on multiplie d’abord Mx 3 para-; le produit Mx* détruira le premier terme du dividende qui a fourni le quotient Mz 3 . Puis on multiplie Mx 3 par— a, ce qui donne —Max 3 , et pour soustraire 4 Max 3 ; ce terme s’additionne avec le deuxième terme du reste ou dividende en question; ce deuxième terme est un terme du dividende principal d’après notre première remarque ; dans notre exemple, c’est Cx 3 . Le premier terme du reste que nous cherchons est donc [Ma + C)r 3 . Par suite, le terme suivant du quotient sera (Ma 4 C)x 3 . En comparant ce terme au précédent , on trouve la loi suivante :

D'un terme d l’autre du quotient, l’exposant de x diminue d’une unité; le coefficient de chaqup terme d partir du deuxième s’obtient en multipliant le coefficient précédent par a, et ajoutant au produit le coefficient du terme qui, dans le dividende , a le rang occupé au quotient par le terme que l’on forme.

Dans les applications , il peut arriver que les exposants de x au dividende ou au quotient ne soient pas consécutifs , qu’il y manque certaines puissances de x inférieures à la plus élevée. Alors il faut avoir soin de remplacer le coefTlcient de chaque terme manquant pqr xéro ; on applique la règle d'après cette hypothèse. *

Nous avons donné la loi des premiers termes, des restes, comme celle des ternies du quotient; le dernier reste, d’après notre manière d’ordonner, se réduisant à son premier terme, on peut, suivant notre loi, trouver la forme de ce reste et démontrer ainsi, d’un autre manière, le théorème énoncé plus haut.

1" Application. Division do x™ —a m par x — a. 1

i” — a m est divisible par x — a quel que soit le nombre entier m.

En effet, faisant x=a dans le dividende x m — a m , par application du théorème 47, on trouve pour re^te a m — a m =f).

Pour trouver la loi du quotient, on peut suivre la même marche que dans la division précédente , ou bien se servir du résultat général auquel on a été conduit. On voit ainsi que le premier terme du quotient étant x 1 »-*, le second sera ax"»— *, le troisième a 3 x m — 3 , etc., de sorte que

jm — qto

— 1 4- axm-% 4- a s x m — 3 4- . . . 4- a>» -*x 4- a m -‘.

2 e Application. £">4 a m n’est jamais divisible parx — a • quel que soit m.

En effet, le reste est a”* 4- am = 2 a m .

Le quotient entier est exactement le même que celui de x»> — a m par x—a;

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cela tient à ce que le dernier terme du dividende n’est pour rien dans la formation du quotient quand on le forme suivant la loi du n° 48.