DES FRACTIONS ALGÉBRIQUES

49 . On appelle fraction le quotient d'une division qui n’est pas effectuée.

L’expression d’une fraction se compose de deux quantités : la quantité à diviser, que l’on appelle numérateur, et la quantité que l’on divise, appelée dénominateur. Le numérateur et le dénominateur sont les deux termes de la fraction (").

,• , ...... Saï>* «* + 6*

I ne fraction s écrit ainsi : , .

3ac ’ a 1 — b*

On écrit le dénominateur sous le numérateur, en séparant ces dettx termes par une barre horizontale.

<>n énonce ainsi : 6ab* divisé par 3ac, ou 5ab s sur 3ac; a'+b* divisé par a * — b*, ou a* + b s sura s — b ! .

I.a valeur numérique de chaque terme d’une fraction algébrique est un nombre quelconque, entier, fractionnaire, ou incommensurable; il résulte de là que la valeur numérique de la fraction est un nombre de l'une de ces espèces. On ne peut donc plus dire, en général, que la fraction est une collection de parties égales de l’unité; il faut la considérer expressément comme le quotient de la division de deux nombres quelconques. Partant de là, nous allons faire voir que les propriétés et les règles de calcul relatives aux fractions arithmétiques, s’appliquent également aux fractions algébriques.

IjO, Théorème. La râleur d'une fraction ne change pas quand on multiplie ou divise ses deux termes par une même quantité.

Ce principe est démontré par ce qui a été dit en arithmétique n°» 123 et 163. Cependant nous allons répéter ici la démonstration , qui est très-simple.

t • Soit - une fraction dont nous désignerons la valeur numérique par q ("*).

Par déllnition, a—byfq. Multiplions les deux membres de cette égalité par la quantité quelconque m; on aura oXm = bXqX« l t °u bien oX*n — bX mXq. ce qui est la même chose d’après lu principe fondamental (Arith. 163).

. 4 •. , .... ... .. #X« . a . aX» a

De la dernicre égalité on déduit , = </; mais - = q ; donc , — =• -.

bX» 1 b bX» b

(*) Quand la division des deux termes peut s'effectuer exactement , il est préférable de remplacer la fraction par la quantité entière équivalente. Ex. : 16a’b s

— . — = ha 1 . Aussi la théorie que nous exposons, quoique s’appliquant aux 3ob*

fractions telles quo nous les avons définies en général, n’a-t-elle été étudiée qu’en vue des fractions dont les numérateurs ne sont pas divisibles par les dénominateurs.

(*') a et b peuvent désigner indifféremment les valeurs numériques des termes de la fractiou , ou bien leurs expressions algébriques. Cette remarque s’applique à tout ce qui suit.