DÉFINITIONS

37. Quand on écrit à l’aide de ce signe = , que deux quantités

quelconques sont égales eutre elles, on écrit ce qu’on appelle , n

en général, une égalité.

Les deux quantités séparées par le signe = sont les deux membres de l’égalité.

On distingue plusieurs sortes d’égalités.

Une égalité prend le nom A’ identité ; 1° quand le second membre n’est autre chose que le premier, répété à la suite du signe =.

Ex. : 5=5, 3-j-5 = 3-)-5, a-f- b = a-\-b.

2° Quand les deux membres doivent remplir la condition précédente après qu’on y aura effectué toutes les opérations indiquées, y compris la réduction des termes semblables. Ex.: 3a-{-5a=15a — la; {x — a) (x-\-a) = x t — a-, (a+a:) , = a , + 2ax-|-x î .

En résumé , une identité est une égalité vraie pour toutes les valeurs des lettres qui y entrent.

On appelle équation une égalité dans laquelle il y a une ou plusieurs inconnues, et qui n’est vraie que pour certaines valeurs de celle inconnue ou de ces inconnues. Ex. : 5 -f- x = 8, 3a:‘ —

38. On appelle racine d’une équation à une seule inconnue, tout nombre qui, misa la place de cette inconnue, vérifie cette équation, c’est-à-dire, fait de cette équation une identité. Ex. : 3 est

ÉQUATIONS DU 1 er DEGRÉ; PRÉLIMINAIRES. kl

une racine de l’équation 5-f- = 8 ; car 5 -f- 3 = 8 est une identité. 2 est racine de 3a.' 2 — 5x = 2 ; car 3 x 2* — 5x2 = 2 est une identité.

Des valeurs de x, y, z satisfont à une équation qui renferme ces inconnues , quand , mises à la place de ces inconnues, elles font de l'équation une identité. Leur ensemble forme ce quon appelle une solution de cette équation.

Résoudre une équation, c’est trouver toutes les valeurs de l’inconnue ou des inconnues satisfaisant à cette équation.

o£). Deux équations sont dites équivalentes quand elles admettent exactement les mêmes racines, les mêmes solutions Telles sont évidemment les deux équations 5a>4-3y=31, 10x-f-6j/=62.

60 . Une équation est numérique quand l’inconnue ou les inconnues y sont seules représentées par des lettres, Ex. : 5 + x= 8, 3a 1 — 5x=2.

Une équation est littérale quand des quantités connues y sont représentées par des lettres. Ex. : 2x-|- a=b-|-l.

Nous observerons ici que les inconnues se désignent ordinairement par les dernières lettres de l’alphabet, >x, y, s; on remonte un peu plus haut , si cela est nécessaire, t, u, etc... Les quantités connues se désignent par les premières lettres , a, b, c...

61 . Les équations se distinguent entre elles par leur degré et le nombre de leurs inconnues.

Le degré d’une équation à une inconnue, dont les deux membres sont entiers par rapport à cette inconnue (n° UG), est l’exposant le plus élevé dont est affectée cette inconnue dans les deux membres.

Ex. : 5x + 4 = 8x — 17 est du premier degré; x'— 5x+ 2 = 0 est du troisième degré.

Le degre d’une équation, à plusieurs inconnues, dont les deux membres sont entiers par rapport à ces inconnues, est le plus haut degré, relatif à toutes ces inconnues, des termes de l’équation, ou bien c’est la plus haute somme des exposants des inconnues dans un même terme de l’équation.

Ex. : xy — x — 3 = 12 -j- 3y est du deuxième degré; ôxy— 8= 3 xy 3 ' — Ux' est du quatrième degré.

Quand les deux membres d’une équation ne sont pas entiers par rapport à une inconnue ou à des inconnues , on ne peut estimer

COURS D’ALGÈBRE

son degré qu’après l’avoir ramenée à une forme entière par des transformations que nous étudierons.

(>2. Pour résoudre une équation, on la suppose résolue; on regarde chaque inconnue, x, comme représentant actuellement un nombre satisfaisant à l'équation. On raisonne alors sur une identité , et on peut appliquer à l’équation tous les principes et axiomes relatifs aux égalités ou identités.

Voici un des principaux axiomes :

On peut augmenter ou diminuer d’une même quantité , multiplier ou diviser par une même quantité , les deux membres d'une égalité sans la troulder.

En multipliant ou divisant les deux membres d’une équation à deux ou à plusieurs inconnues, par un même nombre connu, on obtient une équation exactement équivalente à la première (n° 59).

Ex. : Les équations 5;r-}-3y —23 , 30.r-{- 18y= 138 sont équivalentes (*).

05. Pour résoudre une équation à une inconnue , on remplace ordinairement celte équation par une ou plusieurs équations équivalentes, jusqu'il ce qu’on arrive à celle-ci : x = a, a étant une quantité connue. On cherche donc à isoler x dans un membre, de manière à n’avoir dans l’autre membre que des quantités connues.

04. Pour cela, on a souvent besoin de faire passer des termes d’un membre dans un autre. Ce que nous allons dire à ce sujet

{*) tl n’en est pas toujours ainsi quand on multiplie ou divise les deux mem- , bres par une quantité renfermant l'inconnue; on risque par là d’introduire ou de supprimcr'une ou plusieurs solutions, de remplacer, par conséquent, l’équation considérée par une autre qui ne lui est pas équivalente. Ex. : Si on multiplie les deux membres de l’équation x + \i = 7, par x — 7, on obtient l’équation (i -+• 3) (x — 7 )— 7 (*— 7 ), laquelle admet de pl us que l’équation donnée, x + 3 =7 , la racine x=7.De même, ayant l’équation (x + 3)(x— 7)=i7(x— 7), si on divisait, des deux parts , par * - 7, on substituerait à l’équation proposée une équation x -+- 3=n7 ayant une racine de moins, x=7. Quand, pour chasser les dénominateurs (V. plus loin), il faut multiplier par un facteur renfermant une inconuuc ou des inconnues, ’on fait d’abord en sorte de multiplier pour cela par le facteur le plus simple possible; on égale ensuite les numérateurs des deux membres. L’équation ainsi posée étant résolue, on vérifie chacune de ses solutions , en voyant si elle satisfait à l’équation proposée non debarrassée de ses dénominateurs; si cela est, cette solution doit être regardée comme bonne; dans le cas contraire , elle doit être rejetée. ’ ,

ÉQUATIONS DU 1 er DEGRÉ A UNE INCONNUE. Ù9

est applicable aux équations quelconques , à uu nombre quelconque d’inconnues.

Pour faire passer un terme d’un membre d'une équation dans Vautre, on l’efface dans le membre où il se trouve , et on l’écrit dans l’autre, avec un signe contraire.

Ex. : 5x-\-3=lx — 5.

, Je suppose qu’on veuille faire passer — 5 du deuxième membre dans le premier'; — 5 disparaîtrait du deuxième membre, s’il existait en même temps que lui dans ce deuxième membre un terme égal et de signe contraire à — 5. Introduisons ce terme 5 ; mais pour ne pas troubler l’égalité, introduisons-le dans les deux membres à la lois ; nous aurons évidemment 5x-j- 3 -)- 5 =lx — 5-|- 5 ; ou bien , après réduction , 5x -j- 3 + 5 = Ix, équation équivalente à la proposée. La transposition est faite , et la règle vérifiée.

On démontrerait de même que pour faire passer 5x dans le deuxième membre, il suffit de l’effacer dans le premier, et de l’écrire dans le deuxième , avec le signe — .

On a ainsi : 3 5 = Ix — 5x.

65. On peut changer les signes de tous les termes d’une équation sans troubler l’égalité.

En effet, c’est comme si on transposait tous les termes en général d’un membre de l’égalité dans l’autre.