XX
Après les deux premières personnes, il restait — -f- 6 — - = ,
La troisième personne a pris - f — -f-6 1 — 1 = — - — 1 =
Enfin la quatrième personne en a pris 13, et il n’est rien resté.»
Supposant x connu, Vérifions s’il n’est alors rien resté, c’est-àdire , si les quatre parts réunies composent la totalité des oranges à distribuer
Le problème est ainsi mis en équation. Nous allons maintenant résoudre cette équation en suivant la règle générale.
12 peut servir de dénominateur commun. En chassant les dénominateurs on trou ve 6# — 72 2# -|- x -f- 6 1 56 = 1 2# .
ÉQUATIONS DU 1 er DEGRÉ A UNE INCONNUE ; PROBLÈMES. 55 En réduisant et transposant, on obtient 3# = 90 , d oux = 30. 2' Problème. Un particulier a placé 100000 fr., partie à 5 pour 0/o t partie à 6 pour 0/o ; il relire du tout 5460 fr. de rente. On demande la quotité de chacun des placements partiels.
Désignons par x la quotité du premier ; celle du deuxième est 100000— x.
En supposant x connu , voyons combien rapporte cette somme
placée à 5 pour 100 ; 100 fr. rapportent 5 fr. ; 1 fr. rapporte — — ;
x francs rapportent donc
Demême à 6 pour 100, 1 fr. rapporte et 100000 — xrap- 6 X (100000 — x)
portent
Supposant x connu, vérifions. maintenant si les deux intérêts réunis composent bien une rente de 5460 fr. ; x doit être tel que l’on ait :
5 xx 6 X (100000— x)
Le problème est mis en équation. Il faut résoudre l’équation *
Chassant le dénominateur, et effectuant les calculs , on trouve :
Transposant les termes, en trouve 600000 — 546000 — x, ou x= 54000 fr.
3' Problème. Un nombre est composé de trois chiffres. La somme de ccs chiffres est 11 ; le chiffre des centaines est égal à deux fois le chiffre des dizaines ; de plus , si on retranche 396 de ce nombre , on obtient le nombre renversé. Quel est ce nombre ?
Soit x le chiffre des dizaines; celui des centaines est 2x, et celui des unités égale 11 moins la somme des deux autres, égale 11— 3x.
Le nombre considéré se composant de 2x centaines, x dizaines, et 11 — 3x unités , contient en totalité un nombre d’unités simples égal à :
COURS D’ALGÈBRE
Ce nombre renversé en donne un autre composé de (11 — 3a?) centaines, plus x dizaines, plus 2x unités, ou bien, en unités simples, égal à :
100 X (11 -3a:) + 10 X te-j- 2x.
En retranchant 396 du premier de ces nombres , on doit trouver le second. Vérifions : x doit être tel que l’on ait :
200ar-f-10a:.-|- 11 — 3a - — 396 = 100 (11— 3a:) +10x+2a-.
Le problème est mis en équation; il faut résoudre.
L’équation ne renfermant que des termes entiers, il n’y a qu’à transposer et réduire les termes semblables. On trouve ainsi :
200 a: + 1 0a: 4- 1 1 — 3a: -f 300x — 1 0a: — 2a: = 1 1 00 + 396 — 1 1 ; d’où 595a: = 1585; puis enfin x = 3.
Le chiffre des dizaines étant 3, celui des centaines est 6, et celui des unités . 2 ; le nombre demandé est 632 ; 632 — 396 = 236, qui est bien 632 renversé.
Problème. La distance de Paris à Lille par le chemin de fer est de 27à kilom -,2. Deux convois partent en mime temps de Paris et de Lille ; le premier, train ordinaire, a une vitesse moyenne de 52 k ' I -,2; le second , train express, a une vitesse de 65 kil ,3. A quelle distance de Paris se rencontreront ces deux convois.
Représentons par la ligne droite PL le chemin de fer de Paris à Lille ; soit r le point de rencontre des 2 convois. On connaît PL = 275,2, et il faut trouver Pr ; soit Pr —x ; par suite , Lr= 275,2 — x.
Les deux convois partant à la même heure, l’un de P, l’autre de L, et arrivant en même temps à l’endroit r du chemin, mettent exactement le même temps, l'un pour parcourir Pr — x, l’autre pour parcourir Lr= 275.2 — x. Or le premier convoi parcourant 52 kil ,2 par h cure , mettra , pour parcourir x kil -, autant d’heures
qu’il y a de fois 52,2 dans x ; heures ; le second faisant
JL
ÉQUATIONS DU 1 er DEGRÉ A UNE INCONNUE; PROBLÈMES? 57
65 kiI -,3 à l’heure parcourra x en — heures. Ces
deux nombres d’heures doivent être égaux ; on a donc l’équation : x 21U 2 x
= “êb - ’ ou plus simplement '
Il faut résoudre cette équation.
En chassant les dénominateurs (67), on trouve :
d’où (653 -f 422)x = 274,2 X 422, ou 1075a: = 274,2 X 422;
d’où enfin
Problème. Un autre jour, le premier convoi ci-dessus part de Paris à 8 h du matin ; le second de Lille à 8t>45 m du matin; à quelle distance de Paris se rencontreront les deux convois.
On ramène cette question au cas précédent comme il suit : En
45 m ou — d’heure = - d’heure, le premier train fait 42,2 x 7 ; 60 4 4
à 8 h 45 ra , c’est-à-dire, à l’instant même où le deuxième convoi part
de Lille , le premier passe en un point M du chemin tel que PM=
Soit toujours Pr = x ; Lr = 274,2 — x; dans le cas actuel, Mr = .r — 31,65. Les distances Mr et Lr sont parcourues dans des temps égaux ; le premier convoi, qui parcourt 42,2 à l’heure,
parcourra x — 31,65 en — — heures; le second, qui fait
65 k ,3 à l’heure , parcourra 274 k ,2 — x en
d’où l’équation
cours d’algèbre.
Il n’y a plus qu’à résoudre cette équation.
Problème. Un convoi est parti de Paris pour Lille avec une vitesse moyenne de 42 kil -,2 par heure ; à 8 h 45 m on fait partir une locomotive qui doit atteindre ce convoi à une distance de ^80 kilom. de Paris ; quelle vitesse moyenne faudra-t-il imprimer à cette locomotive?
Soit x la vitesse moyenne cherchée.
La distance de 180 kilom, sera parcourue par le premier convoi
en — - heures. (V. les problèmes précédents.) La môme distance devra être parcourue par la locomotive en — . Mais la locomo-
tive qui part 45 m = — heures = - heure plus tard que le con- 60 4
voi devra mettre 45 minutes de moins que ce dernier à franchir la distance de 180 kilom.; on a donc l’équation :
Équation facile à résoudre-
Nous traiterons plus tard ces dernières questions d’une manière générale.
