ÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ A DEUX INCONNUES

70. Une équation du premier degré à deux inconnues , si elle est isolée , admet une infinité de solutions.

Ex. : 5x+7y=34.

Cette équation est équivalente à celle-ci :

Si dans cette dernière nous donnons à y une valeur quelconque,

ÉQUATIONS DU 1 er DEGRÉ A DEÇA INCONNUES. 59

y=b, nous obtenons une équation du premier degré à une seule

inconnue de la forme Ar=lî, laquelle donne une seule valeur de x, x — a, correspondante h y=b.

i En taisant y =b', on trouve une autre valeur correspondante de x, x = a', et ainsi de suite ; of» obtient autant de solutions que l'on veut de l’équation 5x = 3ù — ly ou de son équivalente 5x-f- 7»/ = 35 . On dit alors que x et y sont indéterminés; que l’équa- » tion elle-même, 5.r -f 7/=3&, est indéterminée.

On prouverait de raélne qu’une équation quelconque à plusieurs inconnues admet, en général , une infinité de solutions.

Un problème dan$ lequel il y a plusieurs inconnues n’est donc pas déterminé quand on ne peut établir qu’une équation entre ces inconnues.

Considérons maintenant un système de deux équations à deux inconnues.

7</-{-5x=3ft.

7 i. Deux valeurs de x et y, x = U,y~2. par exemple , composent une solution d’un pareil système quand ces valeurs vérifient l’une et Vautre équation.

En général, des valeurs de x, y, z,... x =a, y =b, z=c, etc., composent une solution d'un système d'équations, renfermant ces inconnues, quand ces valeurs vérifient successivement toutes ces équations.

Résoudre un système d’équations à plusieurs inkonnues, c'est trouver toutes les solutions dont il est susceptible.

Deux systèmes d'équation sont équivalents quand ils admettent exactement les mêmes solutions.

Pour abréger, nous appellerons valeur convenable d’nne inconnue une valeur de celte inconnue faisant partie d’une solution du système d’équations considéré; valeurs correspondantes de deux ou plusieurs inconnues, des valeurs de ces inconnues faisant partie d’une même solution du système.

Procédons maintenant à la résolution d’un système de deux équations à deux inconnues.

72 Le cas où une des équations ne renferme qu’une inconnue est le plus simple ; nous allons nous en occuper d’abord.

COURS l/ ALGEBRE.

Ex.: '3x-\-ly=3k

Pour résoudre ce système , on tire de l’équation (2) la valeur <^e 12 «

x; x = — ■ = 4. On substitue cette valeur, à la place de x, dans

l’équation (1) ; ce qui donne l’équation à une inconnue, 5 X 4 +

7,i/ = 34; d’où l’on déduit 7y = 34 —*20 = 14, puis y =2. On » en conclut que x = li, y = 2 composent l’unique solution du système.

Démonstration. En effet , la deuxième équation ne peut être vérifiée que par la valeur x — 4- Toute valeur de x convenant au système proposé (1) et|2) devant vérifier l'équation (2), il s’ensuit que x= 4 est la seule valeur convenable de x. Mettant cette valeur à la place de x dans l’équation (1), on trouve 5 X 4,4- 7 y=

34, équation à une inconnue qui doit être vérifiée par les valeurs de y correspondantes à x=k. Mais cette équation 20 ly = 34 , n’admet qu’une seule valeur de y, y= 2. Le système proposé (1) et (2) ne saurait donc admettre d’autre solution que x = 4, y — 2. D’ailleurs il admet évidemment cette solution ; il est donc complètement résolu.

73. Considérons maintenant deux équations renfermant toutes deux les deux inconnues :

' ly-\-5x= 34 (1)

- 8y — Zx = 4 (2).

On ramène ce cas au précédent en remplaçant l’une des équations données par une équation à une seule inconnue , sans changer les solutions du système ; cela s’appelle éliminer une inconnue. Il y a plusieurs méthodes d’élimination.

1" méthode. Élimination par substitution (*).

Regardant une des inconnues y comme trouvée, on considère chaque équation donnée comme n’ayant qu’une inconnue , x, par exemple. On déduit la valeur de cette inconnue de la première équation :

(*) C’est la méthode que l’on doit préférer suivant le programme. ,

ÉQUATIONS DU 1" DEGRÉ A DEUX INCONNUES. Cl

5x = 3/i — ly ; x = — (3)

On remplace x par cette .valeur dans l’équation (2) ; ce qui donne : *

On résout ensuite cette équation à une seule inconnue.

En chassant le dénominateur et effectuant la multiplication indiquée, puis la soustraction, on trouve 40// — 102 -f- 21 y— 20; d’où 61y= 122 , puis y — 2. On met cette valeur' de y .dans l’é-

quation (3) ; ce qui donne x — = — - = 4. On conclut

de 14 que x = 4, y = 2 composent la seule solution qu’admette le système des équations (1) et (2) (*).

Démonstration. Le système des équations proposées (1) et (2) équivaut à celui-ci : î

puisque l’équation (3) est exactement équivalente à l’équation (1).

Les valeurs trouvées x =4, y — 2 ont été obtenues par la résolution des équations suivantes :

Ce dernier système (n) n’admet que la susdite solution x=U, y=2.

Il nous suffira de prouver que les deux systèmes d’équation (m) et (n) sont équivalents.

(') Nous croyons bien faire en isolant complètement la règle pratique de la démonstration; nous ferons de même pour chaque méthode d’élimination.

62 COURS d’algèbre.

1° Toute solution# = a, y= 6, du système (m) est une solution (lu système (n).

En effet , puisque x—a,y—b vérifient les équations (3) et (2),*

on a les égalités : j •

Dans la dernière on peut remplacer a par la valeur égale 3/| r ^ j ce qui donne‘ cette nouvelle égalité :

laquelle prouve que ÿ = b vérifie l’équation (4) ; d’ailleurs l’équation (3), commune aux deux systèmes (m) et (n) est , par hypothèse , vérifiée par x = a , y^çb, donc x= a, y — b composent une solution du second système (n).

2" Toute solution x = a', y — b' du second système (n) est une solution du premier système (m).

En effet, x — a', y = b' vérifiant le système (n), on a les égalités : *

Dans la première de ces égalités, on peut mettre à la place de l’expression le nombre a’ qui lui est égal ; d’où cette

égalité :

laquelle prouve que l’équation 8y— 3,r=4 (2), du système ( m ), est vérifiée par #•= 1»', y = 6’ ; connue d’ailleurs l’équation (3), commune aux deux systèmes , est vérifiée par hypothèse , il est dé- , montré que la solution x=à, y = b' du système (n) est une solution du système (m).