Méthode. Élimination par comparaison

Regardant une des inconnues, y, par cxcnjplc, comme trouvée, on^considère chaque équation donnée cominc ne renfermant plus qu’une inconnue x, et on en déduit la valeur de cette inconnue.

La première donne 5x=34— 7y, d’où x= — — (3).

La deuxième donne 8y — 4=3x, d’où x= ^ ‘ (4).

On égale ensuite ces deux* valeurs de x; ce qui donne — . 1 ^ ■■■— (5) ,

équation à une inconnue, de laquelle on déduit la valeur de cette inconnue. En chassant les dénominateurs, on trouve 102 — 21y=40y — 20. En trans- * posant les termes, et réduisant. On arrive à l’équation 122 = Gît/ ; d’où

y = -^p = 2. On substitue cette valeur au lieu de y dans l’une des équations

(3) ou (4) , dans (3) par exemple , ce qui donne x — — - — = — = 4 ; y = 2 ,

% — \ composent la solution unique du système des équations proposées ( 1 ) et, (2).

Démonstration. Les équations proposées (1) et (2) équivalent à ces deux-ci :

Mais les valeurs trouvées x=4, y=2 ont été obtenues par la résolution des équations

Il faut prouver que les deux systèmes d’équations (m) et (n) sont équivalents.

1» Toute solution x = a, y — b du premier système (m) est une solution du second système (n).

En effet, puisque x=a, y=b vérifient les équations (3) et (*), on a les égalités

6A COURS D’ALGÈBRE

Deux quantités égales à une troisième sont égales entre elles; des deux égalités précédentes résulte évidemment celle-ci :

laquelle prouve que y= 6 vérifie la première équation (S) du système (n); comme d’ailleurs l’autre équation (3), commune aux deux systèmes, est déjà vérifiée par hypothèse, il est démontré que x=a, y = 6 vérifient les équations du système (n).

2* Toute solution x=a\ y —b' du second système (n) est une solution du premier système (m).

En effet, puisque x— a', y= b' vérifient les équations (5} et (3), on aies égalités

De la comparaison de ces deux égalités résulte cette troisième :

laquelle prouve que la deuxième équation (4) du système (m) est vérifiée par x= a’ , y = b' ; comme d’ailleurs l’équation (3) , commune aux deux systèmes , est vérifiée par hypothèse, il en résulte que x—a , y = 6’ composent une solution du premier système [m).

Les deux systèmes (m) et (n) sont donc équivalents. Ayant résolu le système (n), on a trouvé la solution unique 4 , y =2; donc les équations proposées n’admettent que cette solution x— 4, y = 2.

7o. 3* Méthode. Élimination par addition ou soustraction.

On déduit des équations données deux équations équivalentes dans lesquelles une des inconnues , x par exemple , a le même coefficient. Pour cela , il suffit de multiplier les deux membres de la première équation par le coefficient 3 de x dans la deuxième, et les deux membres de la deuxième équation par le coefficient 5 de x dans la première. On trouve ainsi ces deux équations , équivalentes respectivement à (1) et (2) (69).

ÉQUATIONS DU 1 er DEGRÉ A DEUX INCONNUES. 65

Les deux coefficients égaux ayant des signes contraires, les deux termes en x se détruiraient dans la somme des deux premiers membres. A cause de cela , on .additionne les équations (3) et (4), membre à membre, ce qui donne

61ÿ=122 (5). De cette dernière on déduit y = = 2. On remplace y par

cette valeur dans l’une des équations proposées, dans (I), par exemple; ce qui donne l’équation, à une seule inconnue, 14 4-5x = 34, de laquelle on dé-

duit facilement, x — — - — ■ — — — j.

y— 2, ®=4 forment une solution du système des équations proposées (1) et (2), la seule qu’il admette.

Si les termes en x avaient eu le meme signe dans les deux équations , on aurait retranché les équations (3) et (4) , membre à membre ; le reste , comme précédemment.

Tableau du calcul par cette troisième méthode.

7y + Sx = 34 (l)

2iy + 15x= 102 ,

Substituant y = 2 dans (1), on trouve :

T X 2 + 5x = 34 , d’où x = = — = 4.

Démonstration. Pour abréger l’écriture posées par

A = B fl)

A'rrrB' (2) ■

, représentons les équations pro- | (»)•

On a substitué à ce système le suivant : *

Il nous faut prouver que ce» deux systèmes sont équivalents.

1» Quand A = B, A' = I1’, on a évidemment 3A = 3B, 5A' = 6B', d’où résulta

COURS d’algèbre.

Donc quand le système (m) est vérifié par des valeurs de x et y , le système (n) l’est aussi par les mêmes valeurs.

2“ Si par certaines valeurs x=a! , y— b ' , on a '