ÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ A TROIS INCONNUES

78. Il nous faut maintenant résoudre des équations à trois inconnues.

Une équation à trois inconnues considérée isolément admet une infinité de solutions.

Ex. : 5x — Zy -f- 2z = 30.

On le prouve en donnant à y et à z deux valeurs quelconques , y = 1 , z = 2 , par exemple , puis déduisant de la proposée une

valeur correspondante de x ; x — L’équation admet la solu- ^

tion y = 1 , z = 2 , x = — . En changeant arbitrairement les valeurs de y et z, on obtiendra autant de solutions qu’on voudra.

Un système de deux équations à trois inconnues admet une infinité de solutions, ou n'en admet aucune.

Ex.: 5x — 3«/-f-2z = 20, hx- j-7y — 83 = 14.

Donnons à z une valeur quelconque, z = 3 par exemple. Nous aurons ces deux équations à deux inconnues : 5x — 3 y -f- 6 = 20 , hx-\-ly — 24 = 14, qui , résolues , donneront généralement deux valeurs x = a, y = b. Le système proposé admettra évidemment la solution z = Z, x= a, y = b. En changeant autant de fois qu’on voudra la valeur de z, on aura autant de solutions qu’on voudra.

79. Il nous faut donc au moins trois équations à trois inconnues pour avoir un système déterminé ; occupons-nous d’un tel système. Examinons d’abord le cas où deux de ces équations n’auraient que deux inconnues.

Zy — 5a: -f- 4z = C.

Deux valeurs de x et y appartenant à la même solution du système proposé doivent vérifier les équations (1) et (2), composent une solution du système de ces deux équations. Nous sommes donc

ÉQUATIONS DU I e ' DEGRÉ A TROIS INCONNUES.

conduits à résoudre ces deux équations nous le ferons par une des méthodes indiquées. On trouve ainsi une seule solution x—h, y = 2 ; ce sont les seules valeurs de a? et y qui puissent convenir pour le système proposé (1), (.2), (3). En mettant ces valeurs dans l’équation (3), nous avons une équation en z seul, 6 — 20 -\-hz = 6, qui donne une seule valeur de s correspondante à x = U, y = 1 ; en réduisant , on trouve kz = 20 , ou z = 5. Le système des trois équations données admet donc la solution x — U, y = 2 , z = 5, et n’admet que celle-là.

80. Quand deux des équations données, ou toutes les trois, renfermeront les trois inconnues , on ramènera la question au cas précédent, en remplaçant le système par un système équivalent comprenant deux équations à deux inconnues seulement; cela s’appelle éliminer une inconnue.

Pour faire celte élimination , on peut employer l’une quelconque des trois méthodes précédemment exposées. Ces méthodes s’appliquent à un nombre quelconque d’équations renfermant autant d’inconnues qu’il y a d’équations.

Ex. : Soit à résoudre le système :

8 x — 5y-fàz = 39 (1)

lOx — ky — 7z = 12 (2)

élimination par substitution.

On tire de l’équation (1) la valeur de x en y supposant y et z

connus; on trouve ainsi x= — -L-p (à) ; on substitue cette

valeur à la place de x dans les deux autres équations proposées (2) et (3); on obtient ainsi deux équations à deux inconnues.

On résout ces équations par l’une des trois méthodes précé-

cours d’algèbre.

demment indiquées; on ne trouve qu’une seule solution du système»/ =5, z =4. On substitue ces valeurs de y etz dansl’équa-

lion (4), laquelle donne * — = — = 6. On conclut

de là que *=6, y = 5, z — h composent une solution du système des équations proposées , la seule qu’il admette.

Démonstration. Le système des équations proposées équivaut à celui-ci :

x= Z9±^-Uz ,

puisque l’équation (A) est exactement équivalente à l'équation (1).

Les valeurs trouvées* =6, y — b , z = U ont été obtenues par la résolution des équations suivantes :

39 + 5»/ — Uz X ~ 8

Ce système (n) n’admettant que la susdite solution, il nous faut prouver que les deux systèmes d’équations (m) et (n) sont équivalents.

1° Toute solution du système ( m ), x=a, ÿ — b, .s=c, est une solution du système (n).

Puisque *=a, y=b, z=c vérifient les équations (2), (3), (4), on a les égalités :

39 + 56— Ac a = 8

Dans les deux dernières, on peut remplacer a par la valeur

égale

ÉQUATIONS DU l tr DEGRÉ A TROIS INCONNUES.

-, ce qui donne ces deux nouvelles égalités :

.«.(39+56 — Uc) ,, • jn

Ces deux égalités prouvent que x = a, y=b, z—c vérifient les deux équations (5) et 16) du système (n). Comme elles vérifient la dernière équation (a) de ce système, par hypothèse, elles composent une solution de ce système.

2° Toute solution x = a', y = b', z=ç' du système (n) est une solution du système (m).

En effet, x=a', y — b', z—c' vérifiant les équations(5) et, (6) et (6), on a les trois égalités :

Dans chacune des deux premières on peut mettre à la place du nombre ci le nombre équivalent — — ; ce qui donne

les deux nouvelles égalités :

10a' — 66' — le' = 12,

lesquelles, avec la troisième précédente, démontrent que x — d, y — b', s —c' vérifient les 3 équations (2), (3), (6) du système (m). J,es deux systèmes sont donc équivalents. C. Q. F. D.