ÉQUATIONS DU 1" DEGRÉ, EN GÉNÉRAL

Cette dernière équation donne x = 7.

On porte dette valeur dans l’équation (8), qui devient

d’où

On fait ensuite x = 7, z = 3, dans l’équation (6), on trouve : 7x7 — 2j/— 3X 3 = 30, d’où on déduit y — 5.

On porte enfin les valeurs trouvées x= 7, y =5, z = 3 dans l’équation (1), on trouve :

Ux 7 — 5 X 5+3 X3-2< = 10, laquelle donne t=l.

Nous avons donc une solution unique , ainsi composée :

Le lecteur peut remarquer que nous avons profité de toutes les simplifications qui se présentaient ; nous l’engageons à faire aussi attention à la manière de choisir les équations pour les combiner deux à deux. C’est la pratique qui habitue aux simplifications ,

(') Les systèmes équivalents dont parle la règle , et qui se succéderaient dans le raisonnement, sont Tes suivants; il est peu important de les considérer dans la pratique.

l* r système.

Le système proposé des équations (1), (2), (3), (4).

2* système. ,

3' système.

4* système.

M3x— 79ï = 5âi

COURS d’algèbre.

dont aucune ne doit Cire négligée ; nous en indiquons plus bas une autre des plus importantes (8(i).

8iî. Si une ou plusieurs équations renfermaient des coefficients ou des termes fractionnaires, on commencerait par les ramener à la forme entière avant de commencer les éliminations (76).

S’il y avait dans une équation plusieurs termes renfermant la môme inconnue, on la ramènerait à la même forme que les précédentes en réduisant les termes semblables, ou mettant chaque inconnue en facteur commun (76).

8(>. Il peut arriver qu’une inconnue ou plusieurs inconnues n’entrent pas dans toutes les équations du système. Alors l’élimination est moins longue; voici. la marche que nous conseillons pour ce cas

On remarque l’inconnue qui entre le moins souvent dans les équations. On élimine cette équation entre les n équations qui la contiennent, de manière à obtenir n— 1 équations indépendantes de cette inconnue. On joint A ces équations celles des équations proposées qu’on n’a pas employées; on a ainsi m — 1 équations , à wt— 1 inconnues ; on y remarque encore l’inconnue qui eulre le moins souvent , et on l’élimine des équations qui la contiennent, et ainsi de suite. Quand on arrive à un système dont chaque équation contient tontes les inconnues restantes, ou rentre dans la règle générale.

Si une inconnue n’entre que dans une équation , on doit résoudre les m— i autres, puis remplacer dans l’équation réservée toutes les inconnues, moins une, par leurs valeurs trouvées; on déduit de l’équation résultante la valeur de celle dont nous parlons.

Nous allons encore prendre pour exemple un système de cinq équations à cinq inconnues telles que toutes ne contiennent pas

les cinq inconnues.

,3.r — 5y-|-Az = 25 (1)

hx— 3y-f2=— 2u^=7k (2)

lOy— 3s— 5u = 12 ' (U)

7y — 2< r -j-Au = 26. (5)

L’inconnue qui entre le moins souvent est f; elle n’entre que dans

ÉQUATIONS DU l" r DEGRÉ, EN GÉNÉRAL.

les doux équations (3) et (5) ; nous l’éliminons entre ces deux équations. Nous multiplions (3) par 2, et (5) par 3, puis nous retranchons, membre à membre :

L’équation (6) compose avec(l), (2) et (4), un système de quatre équations à quatre inconnues.

x, u et z entrent chacune dans trois équations ; on peut choisir entre elles pour l’élimination Nous choisissons z à l’inspection des coellicients , comme devant donner lieu aux calculs les plus simples. Nous doublons (2), et nous retranchons du résultat l’équation (1).

( . 8# — 6j/-(-4js — 4m = 48

, Nous éliminons ensuite z entre entre (2) et (4); pour cela, nous multiplions (2) par 3, puis (4) par 2, et nous ajoutons les résultats, membre 4 membre.

12* — j-lly — 16 m.-=96. (8)

z est éliminé. L’équation (5) et les équations (7) et (8) composent un systèpie de trois équations à trois inconnues renfermant chacune les trois inconnues. Nous allons éliminer entre elles l’inconnue y. f *

Nous multiplions (7) par 21, et nous ajoutons l’équation résultante , membre à membre , avec (6). •

9“kt — 72u = 521. , (9)

COORS d'algèbre.

Nous multiplions l’équation (7) par 11, et nous ajoutons l’équation résultante avec (8) membre à membre, nous trouvons ainsi :

Nous voilà arrivés à deux équations à deux inconnues, x et u. Nous éliminons u; pour cela, nous multiplions (9) par 5 et (10) par 6 ; puis nous retranchons le 2 e résultat du 1 er .

Nous trouvons ainsi 73a: = 51 1 ; ce qui nous donne x = 7.

Nous portons cette valeur dans l'équation (10). 67x7 — 60u = 3à9 ; d’où u = 2.

Nous faisons x—1, u=2 dans l’équation (7;, ce qui donne 5x7 — y— ùx2 = 25; d’où y = U.

En faisant y — U, u = 2 dans (à), nous avons 10 xù — 3z — 5 x 2 = 12; d’où z — 6. ,

En remplaçant x par 7, dans (3), on trouve t — 5.

De sorte que nous arrivons à une solution unique ainsi composée :

Nous savons maintenant résoudre un système de m équations à m inconnues.

117. Problème. Le père et le fils travaillent ensemble chez un particulier ; pendant un mois le père fait 24 journées, le fils en fait 19, etils reçoivent 117 fr. pour leur payement. Ils y retournent une autre fois ; le père fait 21 journées, le fils en fait il, et ils reçoivent 156 fr.

Combien gagnaient-ils chacun par jour?

Soient x le gain journalier du père et g celui du fils.

La première fois ils ont gagné, à eux deux , 2ùx-|-19i/; la deuxième fois ils ont gagné 21x-j-17y. D’après l’énoncé, x et y doivent être tels que l’on ait

et 21x-fl7y = 156. (2)

Voilà le problème mis en équation :,il faut maintenant résoudre.

Pour cela , nous employons la méthode par réduction ; 2U et 21

ÉQÜATIONS DD l" DEGRÉ. — PROBLÈMES. 81

ayant le facteur commun 3. nous éliminerons x. 11 suffit de multiplier l’équation (1) par 7, l’équation (2) par 8, et de retrancher ensuite la première équation de la deuxième. On arrive ainsi à 1 équation 136// 133//=1248 — 1239, laquelle se réduit a 3»> — 9 • d’où j/=3.' #0; ■ - ■ ,

En mettant cette valeur de y dans l’équation (2), on en déduit