DES QUANTITÉS NÉGATIVES

égal à — 90 , interpréter cette égalité d'après la définition ordinaire de la division. De l'équation - 3xi = — 90, résulte alors

Continuant à appliquer aux quantités négatives les règles établies au sujet des termes de polynômes, on dira, — divisé par — donne + (n° 37)

On arrive ainsi au même résultat que si on était revenu sur ses pas.

2' Cas. Revenons maintenant au 2 e exemple; dans ce cas, il n’y a pas moyen d ! éviter les quantités négatives; de quelque manière qu’on s'y prenne, on ne peut manquer d'avoir d’un côté un monome précédé du signe — , et de l’autre un monome précédé du signe 4-.

— 1x = 12 (2), ou bien — 12 = 2# (3). (*)

On est bien obligé de s’en tenir à l'un ou à l’autre de ces deux résultats; ce que nous avons de mieux à faire est donc d’examiner le parti qu’on en peut tirer. • *

Puisqu’on y est arrivé en traitant , sans distinction , les termes connus ou inconnus des équations précédentes, d’après les règles établies, comme des termes de polynômes, continuons à agir de même pour ceux de l’équation — 1x — 12, ou — 12 = 2x.

Opérant comme il a été dit pour l’équation A.x = B, alors que A et B ne semblaient offrir aucune particularité , dégageons x.

L équation (2) s’écrira ainsi; — 2xi = 12; d’où x = — -.

Appliquant la règle des signes (division des polynômes n° 37) ,

nous dirons + divisé par — donne — ; x = — - = — - = — 6.

(■) Les équations (2) et (»), qui sont équivalentes (V. leurs solutions plus bas), se déduisent l’une de l'autre par le changement ries signes ; le principe cite plus haut (n“ fiS) s'applique encore ici.

COURS d’algèbre.

L’équation (3) s’écrira ainsi: — 12 =; 2 xi; d’où

Si 1 on revient, pas à pas, de la dernière équation , x = 6

à la première 42 + » = tf8 + x) 3 , on voit facilement, par des* inductions successives, que - 6 étant mis à la place de x, et traité exactement comme on a traité x, satisfait à toutes ’ces

équations. Vérifions ce fait pour la première équation 42 -4- x

La substitution de x — — 6 donne

Nous devons traiter - 6 comme nous avons traité x d’un bout à autre du calcul précédent. Appliquons donc la règle d’addition n° 15 , comme si - 6 faisait parüe d’un polynôme qu’on ajouterait à 42 ou à 18; écrivons — 6 à la suite de 42 et de 18 avec son signe. On trouve ainsi

42-6 =(18— 6XX3; d où, en effectuant la ihultiplication indiquée

puis, après réduction

36 = 36 , identité.

L’équation est vérifiée par x — — 6.

Remarques. Aucun nombre positif ne saurait vérifier l’équation proposée (42 + x) = (18 +x) X 3 En effet, si un nombre positif véiifiait cette équation , il devrait vérifier les équations suivantes qui résultent nécessairement de la première; on arriverait ainsi à 1 équation x — 3x = 12. On serait donc conduit à cette absurdité évidente : l'excès d’un nombre sur 3 fois lui -même ■égale 12 (i*)

• > l' impossibilité est évidente dès l’équation 42 + x= 64 -f- Zz; 42 est plus petit que 64 , et x moindre que 3x ; cette égalité est donc impossible; mai^ nous au.ns voulu montrer comment l’impossibilité a e manifeste à l’instant meme où on arrive au\ quantités négatives.

95. Conclusions. 1° En admettant les quantités négatives dans le calcul, quand la réduction des termes semblables mécaniquement effectuée les amène, et leur appliquant les règles déjà établies, exactement comme si c’étaient des termes de polynomefs, on parvient à la véritable solution de l’équation , sans être obligé de revenir sur ses pas pour faire une autre transposition de termes ; on n’a pas à s’embarrasser de faire passer les termes en x dans un membre plutôt que dans un autre, sûr que l’on est d’arriver de l’une ou l’autre manière au même résultat.

94. Secondement, par cela même que la réduction des termes semblables , mécaniquement effectuée , amène d’un côté une quantité négative, et de l’autre une quantité positive, Ex. — 2x = 12, on est averti qu’aucun nombre ne saurait satisfaire à l’équation proposée.

Si donc cette équation est la traduction algébrique , exacte et complète , de toutes les conditions que doivent remplir les données et l’inconnue d’un problème, on doit conclure que ce problème, tel qu’on l’a entendu en le mettant en équation , est impossible

L'impossibilité du problème précédent sur les âges se voit à

priori. En effet , les années s’écoulant , le rapport actuel , des

Ages, deviendra successivement

etc. ; il ira en

18 — 1 ’ 18 + 2’ diminuant (Arithm. 1 n° 156); or il est déjà moindre que 3; il ne deviendra donc jamais égal à 3. Mais si on se reporte en arrière.

le rapport devient — — - , — — -, etc. ; il va en augmentant ;

donc, antérieurement, il a pu être égal à 3.

Or la solution x = — 6 nous fait justement connaître cette époque antérieure; il. y a six ans que l’âge du père était le triple de l’âge du fils; en effet, il y a 6 ans, le père avait 36 ans et le fils 12 ans.

95. L'emploi des quantités négatives traitées comme nous l’avons dit suivant les règles ordinaires du calcul des polynômes, même après qu’on a reconnu l’impossibilité du problème proposé , met sur la voie des modifications que l’on doit faire à l’énoncé de ce problème pour qu'il devienne possible , et donne en même temps la solution du problème modifié. t

90 * COURS 0’ ALGÈBRE

Ayant trouvé x = — 6 , et l’ayant substitué dans l’équation proposée , on est arrivé à ce résultat :

qui est une véritable identité.

Remplaçons 6 par x , nous avons l’équation

Cette équation admet la solution x = 6.

Si celte équation était la traduction d’un problème , ce problème aurait pour solution x = 6 ; or, elle est évidemment la traduction ^ algébrique de l’énoncé suivant: Un père a 42 ans , son fils en «18; combien y a-t-il d’années que l’âge du père était triple de l'âge du fils?

Si on compare la première équation proposée 42 -f- x =

(18 + x) x 3 à cette dernière équation

ou voit que l’on passe de la première à la seconde en changeant x en — x, ce qui donne

puis traitant la quantité — x comme un terme de polynôme ordinaire (règle d’addition n- 15); ce qui donne

De là une règle que nous formulerons plus tard.

96. 11 peut arriver qu’un problème étant possible, on fasse dans la mise en équation une fausse supposition ; on doit choisir entre deux hypothèses dont une seule est bonne ; on choisit la fausse. Souvent alors on est averti par les quantités négatives qu’on a fait une fausse supposition , qu’on devait choisir l’autre hypothèse ; mais ce n'est pas tout , si on traite les quantités négatives comme il a été indiqué , on obtient la solution du problème dans ses vraies conditions sans être obligé de recommencer le calcul suivant l’hypothèse vraie.

Ex. : JLe problème des âges précédemment traité eût pu être proposé ainsi Un père a 42 ans, son fils en a 18; on demande