DES EXPOSANTS NÉGATIFS

être. prises dans une acception contraire à celle qu’elles avaient quand le problème a été mis une première fois en équation , il n’est point nécessaire de former directement une nouvelle équation pour le nouveau problème , il suffit de changer, dans la première . le signe , de chacune des grandeurs dont l'acception vient de changer.

Nous n’avons fait que des vérifications * On n’a pas démontré directement cette propriété des signes -fet — \ on ne s'en est assuré que par un grand nombre de vérifications, qui heureusement sont assez variées pour qu’il ne puisse exister, dans un esprit juste, aucun doute sur l’exactitude de cette propriété essentielle. ■ ' . . •

1 10 Avant de passer outre , nous croyons bien faire d’indiquer sommairement une application assez remarquable des quantités négatives.. .

Des exposants, négatifs.

Ayant à diviser a m par a”, si on applique la règle ordinaire (n° 33) on a pour quotient a m ~ n . Trois cas peuvent se présenter; on peut avoir m> n ,rn== n , m < n.

m > n , c’est le cas ordinaire.

m — n , c’est le ca^ de l’exposant zéro indiqué ns 35.

• V» < n ,• arrêtons-nous. à Ce 3® cas. Soit m = h -f p.

. a™ a m a“xl 1 ~a* ~ Tr+t ~ =

, Si , d’après la règle ordinaire de division nous écrivons a m : a” = puis que nous réduisions l’exposant à une plus simple expression en admettant ici les quantités négatives, nous trouvons

R approchant, ce résultat du premier, on est conduit à con-

sidérer comme équivalentes ces deux expressions algébriques , a~ p = -rj ; c’est-à-dire qu’on n’attache pas d’autre sens à a~ p que celui

bien connu qu’on donne à - 5 . . " •

COIRS D’ALU ÊBRIv»

Mais en mettant — sous cette forme a f , on est parveuu à étena

dre l'application des règles de multiplication , de division, d’élévation aux puissances, etc., relatives aux exposants positifs, aux exposantsnégatifs eux-mêmes, traités suivant les règles ordinaires d’addition, de soustraction, etc., comme il a été dit n" 99.

Ainsi a” xa n = a" 1- " ; m — n étant considéré comme la soinniç de m et de ,• a~ m x a~* = a"’" - " ; — m — « étant la soipme de — m et — n; a m : a.~ n — a"‘ +n ; m-j-n étant considéré Comme obtenu en soustrayant n de m , etc. Tout cela sé vériiie comme nous allons faire, pour un ou deux cas :

a” X a~ n = a m X- — — (règle des fractions).

fl** *

Mais - = a m-n , quelles que soient les grandeurs relatives de m

et n dès qu'on adopte la convention « p = — ; a m m '= a 0 ; donc

a xa

Toutes vérifications faites, nous étendrons donc aux exposants négatifs leS règles trouvées pour les exposants positifs.

Discussion des équations et des problèmes résolus d une manière générale. — Cas d'impossibilité ou d'indétermination.

117. Après avoir résolii un certain nombre d'équations du 1 er degré et de problèmes donnant lieu àde pareilleséquations, il importe, avant de passer à des,équations d’un degré supérieur, d’examiner les différents cas qui peuvent se présenter dans la résolution des équations et des problèmes Pour les rencontrer,, les découvrir tous dans chaque genre de questions, on conçoit qu’il faut con- ” sidérer chacune d’elles sous un point de vue général , puis passer de là aux cas particuliers. . . • ; , . •

Pour traiter les équations ou problèmes d’une manière, genë-

Dtgitteed by Gôogle

DISCUSSION DES ÊQUATÎ ET DES PROBL. CAS D’iMPOSSlRIUTÊ. 105

raie , nous ferons ce qui a été indiqué au commencement de l’algèbre , nous représenterons les quantités données par des lettres.

Les équations traitées étant littérales , les résultats seront des formules. Nous discuterons ces formules.

HH. Discuter une formule, c’est examiner les divers cas qui peuvent se présenter dans les problèmes numériques que celte formule sert à résoudre'. . . ' ■

119. Toute équation du 1" degré à une incoflnue peut , à l’aide de la règle du n° 67, être ramenée à la forme AXi = B; d’où la

formule x = — .

• Nous avons déjà discuté cette équation , n? 68 , au point de vue "des équations numériques; mais au point de vue des équations littérales et de la résolution d,es problèmes, il nous faut revenir sur le 2* et le 3* cas.

0 , B = m , nombre différent