DISCUSSION

Voilà la formule du problème. Elle doit servir à trouver le point de rencontre dans chaque cas particulier, quand on y aura remplacé les quantités », »', d,U par les valeurs numériques qu’elles ont dans ce cas. Nous allons discuter cette formule ; c’est-à-dire que , examinant les différents cas qui peuvent se présenter dans l’application , nous verrons jusqu'à quel point le résultat trouvé douue la réponse à la question , et comment il donne cette réponse.

(*) H est évident que dans un même temps donné , si l’un des convois allait deux fois pins vite que l’autre, il ferait deux fois plus de chemin que lui; s’il allait trois fois plus vite , trois fois plus de chemin , etc.

/ DISCUSSION DES PROBLÈMES DU 1 er DEGRÉ.' 115

Observons d’abord que dans tous les cas où v est différent de,v’, l’équation (l),ou, ce qui est la même chose , l’équation (3), admet une solution, et n’en Admet qu'une (68) En est-il de même, ‘ du problème? c’est ce qu’ii est facile de vo^r à priori, et immédiatement,, Nous préférons cependant décomposer ce cas général en deux cas particuliers : celui où la valeur (*' de x , qui satisfait à léqualion, est positive, et celui où elle est négative.

Nous aurons répondu à la question faite pour le cas général, si nous répondons à la même question pour chacun de ces deux ■ cas particuliers dans lesquels il se aécompose.

x %era positif quand ,on aura à la fois et ou*

bien quand on aura en même temps v < et d <C'vh. ’>

Nops süpposons que t\ v', d et h sont représentés par des nombres positifs. , . • ( •>

Considérons d’abord le cas où l’on a v /> v r , et d > vh. x est alors positif; de quel côté doit-on porter cette distance positive? * :

Raisonnons $ur l’énoncé même, vh = AC est plus petit que <f=AB; par conséquent le point C est dans le cas -actuel en arrière de B,’sur,la gauche. Ainsi donc ù l’instant où le deuxième convoi est en B, le preqiier est en arrière de lui de la distance CB; la marche continuant à partir de ce moment, le premier convoi , qui va plus rôle, regagnera à chaque instant une partie de l’avance CB que le second a sur lui , à chaque unité de temps, il regagnera évidemment sur cettq avance une dis- i tance égale à ê — v' ; supposons «pour fixer !^> idées que v = A3 kilom l/2,u'=A3 kilom, et en'inême temps CB= Atfkilom.

A chaquè heure,’ le premier convoi regagnera y 2 kilom. sur’ l’autre; au ljout de ,2 heures , 1 kilom., etc... 11 aura regagné toute l’avance CB , et atteint le second convoi , au bout d’autant d’heures qu’il y ade fois 1/2 k. dans AO kilom. , au bout de 80 heures;

CB d-rh

en général, au bout du temps t = — Ce raisonne-

ment, évidemment général, prouve que dans le cas où l’on a v', il y a une rencontre; cetl$ rencontre ayant lieu un certain temps après que le'deuxième convoi a passé en B, se dirigeant dans le sens BX, aura lieu à droite de B; c’est donc dans ce suis

COURS D’ ALGÈBRE

J • v'{d—vh)

que uous porterons uotre distance positive , x = — - — p- =vt.

» Le sens des valeurs positives de x est maintenant fixé.

Remarquons bien que toutes nos conventions sont faites, quant auxsignesdes diverses distancesqui entrent dans la question comme données ou résultat ; nous ne sommes plus libres d’en changer. Considérons maintenant le cas où l’on a v <T v’ et d < vh.vh — \G étant plus grand que d = AB , le point C, cette fois , • est en avant du point R, à droite du point B. A l’instant où le deuxième convoi est en B, l'autre est en avant de lui, en un .point C (*). Mais v' étant plus grand que v , le deuxième colhvôi, , qui est efi arrière de l’autre, au moment corisidéré , de la distance, RG = vh — d, regagnera à chaque instant une partie de cette distance (dans chaque unité de temps une distance , v'~v), et rattrapera l’autre au bout d’autant d’unités de temps qu’il y a de fois » — r’ dans BC= vh — d; (on peut faire ce raisonnement sur des nombres. Kx : t'=i3kilom.,t/==à3kilom. I J2 et BC=àO kilom.). II y aura donc une rencontré des deux convois, et cette rencontre aura lieu après que le deuxième convoi aura passé en B; elle aura donc lieu au delà de B, à droite. Cette distance doit être portée dans le môme sens que celle du cas précédent , ce que l’algèbre indique par l’identité du signé.

Considérons maintenant les cas oa la valeur de x est négative. Cela arrive dans deux cas : 1° quand on a à la fois v < v', dy>vh; 2° quand on a en même temps v > d < vh.

Soit d^>vh, vh = AC étant moindre*que d = AB, le

point y est en arrière du point B. Le 1 er convoi est en arrière de l’autre à l'instant où celui-ci est en B; de plus, u.étant moindre que v 1 , le prenne* convoi va moins vite que le second ; il résulte de là , que la marche continuant , ce premier co'aAn va rester de plus en plus en arrière du second , et certainement ne l’atteindra pas au delà du point B. Si donc les deux convois ne faisaient que se mettre en route à l'instarït où nous les considérons , il n’y aurait pas de Venconlre : le problème serait impossible. Mais ils sont en

(•) Nous ne figurons pas cette position du point <’.*pour ne pas trop multiplier les lettres sur la ligne X’ABX ; ce qui produirait de la confusion. 11 est facile de mettre pac la pensée le point C où nous l’indiquons.

DISCUSSION DES PBOBEfeSES DU 1" DEGRÉ. 117

route depuis une époque antérieure non designée; la solution né-

v'(d — vh) . ' ,, . , ■ , -

gative x = — —7 — —— i , indiquerait - elle simplement qu on a

fait une fausse supposition dans .11. prise en équation du problème? En effet , nous avons supposé que les deux- convois se • rencontrent au delà de B ; cela n’est pas possible; mais n’ont-ils pas pu se rencontrer en arrière du point B? Imaginons que le deuxième convoi étant arrivé au point B- et l’autre en C, ils rebroussent chemin, se dirigeant dans le sens BC ; dans cette- nouvelle course , le premier convoi se trouvera en avant , le deuxième en arrière ; et comme le deuxième va plus vite que le premier, y' > v , il le rattrappera au bout d’un temps; l heures , que l’on

' BC , ,d — vh . . .

trouvera égal à — *= -, si on raisonne comme dans le

cas précédent; la marche -ayant lieu à gauche de. B dans le sens BC, la rencontre aura lieu en un point R',‘de ca côté de R. Mais les convois, ayant rebroussé chemin, se trouvent, une heure après , aux mêmes endroits où ils étaient une heure avant ;• deux heures après , là oh il$ étaient deux heures avant ainsi de ■ suite ; mais t heures après , ils se trouvent ensemble au point R' donc t heures avant d'avoir rebroussé chemin* c’esl-à-dire l heures avant-d’être le premier, çn C , l’autre en B , ils se sont trouvés ensemble en R', à gauche de B. C’est donc à tort qu'on a supposé qu’ils se rencontraient en R au delà de B; l’algèbre, eu donnant . . v'(d . — rh)'

pour x une valeur négative ; , rectifie cette fausse sup-

position. Plaçons-nous donc dans l’hypothèse contraire , et mettons le problème en équation. Soit R', à gauche de B , le point de rencontre ; posons toujours BR' = x ; alors AR’ = x~- d. Les deux convois allant dans le même temps, l’un du R' en C, l’autre dé II' en B, nous aurons l égalité

mais R,’C = R'A -f AC = x — d -f- vh ; d onc l’équation du problème est • . .

- , ■ g- — d-\-vh v

118 ' t • COURS p’ ALGÈBRE.

Comparons-la à l’équation obtenue dans l’hypothèse d’tine rencontre au delà de B, c’est-à-dire à . • , • X -f- d vh ; v • • »

si l’on change x en — x dans cette dernière , on a

, ’ — x-\-d—vh v

Cette équation équivaut exactement à l’équation (A) :

• x — d -\-vh , v

car il n’y a qu’à'çhanger les signes des termes de Tune pour obtenir.l’autre. . # , .

L'équation ■ A! équivalant à celle qu’on obtient en changeant x

en — x dans l’équation (1) , il s’ensuit que si V ^ V ^ '

v'(d — vh) . ... . • ... * . v(d — vh)

tz satisfait à 1 équation (1), x — satisfait à

• v — v , . .. . . tJ — »

l’équation (A), -et par suite au problème , dans l’hypothèse qu’une rencontre a lieu en deçà de B. Ainsi donc, pour trouver le véritable point de rencohtre , il suffit de porter à gauche de B une distance

égale à la valeur absolue de x , c’est-à-direà ^4 — ~.

La valeur (A) de x ést encore négative quand on a -en même •temps -t- > v'. et d < rhi On peut vérifier que , dans ce cas encore , ou a fait une fausse supposition dans la mise en équation du problème , le point de rencontre n’étant pas au delà du point B , mais en deçà. Kn effet, vh = AC étant.plus grand que AB, le point C' est au .delà de B ; le deuxième convoi arrivé en B est donc en ce moment eu arrière de l’aufre ; mais il va moins vite que lui, -puisque v' ■< r ; donc il ne le rattrapera pas au delà du poipl B, où il se trouve. C’est donc à tort que l’on a supposé qu’il y avait une rencontre- au delà du point B. Pour rectifier cette 1 suppQsilioti , changeons x en — .r-'dans l’équation (1) que nous avons posée pour résoudre le problème, il vient :. >

' • — x -f- d — vh

DISCUSSION DES PROBLÈMES DU 1 er DEGRÉ.

Or si nous supposons que la rencontre ait lieu en un point R' à gauche du point B, on trouve l’équation

a"-f- vh — d

qui n’est autre que l’équation précédente dont tous les termes auraient- changé de signe; donc » comme elle, elle admet pour

solution la valeur absolue de x =

— v'{vh—d)

■ . v'(vh—d) , qui est —

.. Si donc il y a eu une rencontre , elle.a eu liéu au point R' tel que’