DISCUSSION DES PROBLÈMES DU 1" DEGRÉ

véritable identité, vérifiée quel que soit x ; 1 équation est réellement indéterminée. Tl en est de mêmé du problème; en effet, d = vh, ou AB = AC, signifie que les deux convois sont ensemble en B; ayant la môme vitesse v — v, l'un ne dépassera pas l’autre , ils seront ensemble à tous les points de la route situés au delà de B ; ils ont toujours été ensemble antérieurement ; autrement, ayant la môme vitesse, ils ne se seraient pas rejoints au point B. Chaque point de la route au delà ou en deçà de B est un’ point de rencontre. .Le point R est partout sur la route par-» courue ; BR qpt absolument indéterminé.

129. Notre discussion est terminée; on voit que l’admission des quantités négatives offre dans ce genre de problèmes les avantages que nous avons signalés précédemment.

Nous pourrions encore, par continuation , remarquer qu’en introduisant les quantités négatives dans les données mêmes de la question, on peut encore étendre l’application de la formule .v ’{d-vh)\ „

x — 7— à d autres cas que ceux que nous avons considérés.

* Supposons, par ex. , que le signe donné au nombre désigné par v - ou v' indique le sens de là marche de chaque convoi , savoir, le

signe -j- la, marche dans le sens X'ABX; le signe — la marche dans le sens contraire XBAX',; alors la formule donnera encore, le point de rencontre des deux -convois, si les autres circonstances restant les mêmes,’ ils allaient en- sens contraire l’un de l’autre, le premier dans le sens X'ABX, l’autre dans le sens XBAX'.

De même si on donnait au nombre d’heures désigné par h le signe -j- ou le signe — , suivant que le moment de l’arrivée du T convoi en B est postérieur ou antérieur au moment de l’arrivée du 1 er en A , la même formule précédente donnerait la réponse au problème dans l’une ou l’autre circonstance.

SS on suppose d~ 0, ou le point B corifondu avec le point A, la formule répond encore à la question. Bile y répond également’ quand on suppose fi = 0 , c’est-à-dire que lés deux convois sont

• au même instant l’un en A , l’autre en B. C’est le cas du problème traité en note, p. 107, et on peut voir que ponr h — 0 les équa- Uçns sont les mêmes.

COURS D'ALGÈBRE

Formules générales pour la résolution des è juations du I e ' degré à deux inconnues. — Discussion complète de ces formules.

1 30. En représentant les données par des lettres dans les équations du l rr degré à plusieurs inconnues, nous pouvons aussi avoir des formules générales donnant les valeurs de ces inconnues composées avec leurs coefficients , et le,s termes tout connus. »

D’abord nous supposerons que dans chaque ‘équation on ait préalablement réuni dans un même membre tous fes termes renfermant chacun une inconnue , mis chaque inconnue en facteur commun des nombres qui la multiplient, et isolé les termes tout connus dans le second membre. On obtient ainsi des équations tellés que celle-ci :

ax-\-by-l r cs^-:.. = k. •

Cela posé, les équations à deux inconnues affecteront cette forme générale '! , ’

.. • .. ax + by .= o.' . • • . - 4 .

131. Nous avons vu , n° 70, qu’il faut deux équations distinctes • pour que les inconnues aient des valeurs déterminées. Considérons

donc le système d’équations *•

. • • . • ax-\-by = c' 1 • ( 4 ) ' ’ *

et résolvons-lcs d’abord. Nous agirons exactement comme pour les équations numériques ; nous éliminerons une des inconnues par l’une des méthodes indiquées. , T

Employant la méthode par substitution, nous tirerons de l’équation ( 1 ):,

c — ax ’ b..

et nous remplacerons y par cette valeur dans la seconde équation ; nous trouvons ainsi j ( ’ ■' • *

, , b' (c — ax) ,

RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS (IX + 6ÿ — C, Cl'x + b' y = c\ 123 D'où , en chassant les dénominateurs

ba'x + cb' — ab'x = bc' ,

faisant passer les ternies en x dans le 2 e membre, il vient :

» cb' — bc'=(ab ' — 6a'): v; (15)

cb' — 6c'

d’où la formule

ab' — bd'

Substituant cette valeur de x dans l’équation (8), on trouve • cb'—bc'

ab' — 6a' ab'c — ba'c — acb' -f- abc'

b b{ab'

qui , toute réduction faite , se réduit à

ba"\

ac -

ea

ab’ — 6a' ’

Les égalités (in) et (n) sont les formules annoncées.

152. Nous allons immédiatement en faire une application. Reprenons les équations

.. \ ly-\-5x—ib ' . (!)

déjà résolues , et calculons les valeurs de x et y b l’aide des formules (m) et (n). Dans le cas actuel a = 5, 6 = 7, c — 36; ‘6’ = 8 ; a' — — 3 , c' = 6, D’après cela les formules (m) et (w) donnent

5X6 — 36 X(— 3) gO + 102 122

Ce sont les valeurs trouvées par chacune des méthodes d’élimination. ’ , . .

155. On a déjà remarqué que les valeurs générales (m) et (n) de x avaient le même dénominateur facilé à retenir. En regardant de près les numérateurs, on a vu que chacun pouvait se déduire facilement du dénominateur commun; on a ainsi trouvé une règle

COURS d’algèbre

qui donne le moyen d’écrire immédiatement les formules ( m ) et (n), sans faire le calcul d’élimination indiqué précédemment.

Règle. Étant données les équations générales

ax -f- by =c (Il

écrivez à la suite l'un de l’autre les arrangements ab , ba des deux lettres a et b ; séparez -ensuite ces deux arrangements parle signe — , puis accentuez seulement la dernière lettre de chacun. Fous aurez ainsi le dénominateur commun ab' — ba' des valeurs générales de x et de y. Pour avoir le numérateur de x, remplacez dans ab' — ba chaque lettre qui est un coefficient de x dans l’une des équations données, (1) et (2), par le terme tout connu qui lui correspond, c’est-àdire a par c, et a' parc 1 . On trouve ainsi le numérateur cb' — bc'; eb' — bc'

ce qui donne X-

-, ; on fait de mime pour y; un remplace

ab' — ba'

dans ab' — ba' chaque lettre qui est un coefficient de y par le terme tout coÊnu qui lui correspond , c'est-à-dire b' par c' et b par c ;

. , ac' — ca'

= J5 r =ïî -

Ceci est une règle purement mnémotechnique servant à retrouver au besoin des formules dont on connaît l'exactitude pour les avoir obtenues au moins une fois par un calcul direct , par l’élimination , par exemple. ' . .

Discussion des formules générales (m) et (n).

-154. L’emploi de ces formules générales ( m ) et (n) pour la résolution de deux équations proposées du 1 er degré à deux in- • connues tient lieu du calcul par élimination appliqué directement à ces deux équations. Ces deùx modes de résolution sont-ils équivalents? L’emploi des formules donne-t-il dans tous les cas les mêmes résultats que le calcul direct? c’est ce qu’il importe d’exa- • miner. C’est dans cet examen que consiste la discussion des formules • • '