Reprenons les deux équations générales

• ax -j- by —’c (1) »

' DISCUSSION DES équAtions ax -f- by =c, a'x -f b' y—c. 125

joignons- y le tableau des calculs effectués n* 1 31 pour arriver aux formules (m) et (n).'

De [\ ) on tire

c — eu V

d’où , en remplaçant dans (2)

, b'(c — ax) , axA — - — - — c

puis, a hx -J- cb — ab'x = hr' ou rb' — bd = {ab ' — ba')x. (5) De dette équation (5) > on a déduit la formule

'cb' - bc'

ab'~ba ”

puis par substitution dans l’équation (3), toutes réductions faites ,

ac

■ ca

ah' — ba r

On peut observer que l’équation (5) et la formule (m) signi liant exactement la même chose , ne peuvent manquer de donner dans tous les cas le même résultat.

Maintenant discutons

Nous supposerons d’abord qu’aucun des coeflicients a, a', b , b' ne manque , ne soit égal à zéro. .

» L’équation (5) est de la forme A . x = 6 ; A — ab' — ba! ; B = cb' — bd. De là, eu égard à la discussion de l’équation A.x = B, n 0 78 , cette première conséquence.

136. 1 er Cas. ab' — ba' est différent de 0. L’équation (5) donne par .r une seule valeur finie , celle que donne la formule (m) , (A différent de zéro, n° 68).

En substituant celte valeur de x dans l’équation (1), ou dans (3),

ax

-, qui est celle

on trouve pour y une seule valeur finie, y — fournie par la formule [n).

Lors donc que ab’ — ba' n'est pas nul 'le système des équations (1 ) et (2) n' admet qu'une solution composée d'une valeur finie de x, et une de v. '

COURS d'algèbre.

Les formules donnent alors le même résultat que le calcul direct appliqué aux équations données.

157. 2' Cas. Supposons ab' — bu,' = 0 , cb' - bc’ = m, nombre

différent de 0 , autrement cb'

ou >

La valeur de x prend 'alors la forme -.

Nous allons montrer que la valeur y prend aussi la forme —

Comme le dénominateur de y, ab' — ha' — 0, il suffit pour cela de montrer que ac' — coi est ici différent de 0.

En effet, ab' — ba! = 0 donne ab' = ba‘ d’où " ; ensuite

d’où -, p,; si l’on

c ou > b'

remplace dans l’inégalité , > par la valeur égale - , on trouve

cb' — bc'=m équivaut à cb ^ 6c';

ou>

- — ou ccr ac' , ou enfin ac

c ou > a ou>

-ca' = un nombre m'

différent de zéro ; donc la valeur de y a la forme — .

fil

Nous avons vu que le symbole — indique l’impossibilité dans le

cas d’une équation du premier degré ù une seule inconnue ; nous allons voir qu’il en est de même pour nos deux équations à deux inconnues. • *

Introduisons les hypothèses actuelles dans les deux équations

a b , 4 ba'

générales (1) et t2). Ue l’égalité , on déduit a = — . •

Remplaçons a par cette valeur dans l’équation (1) , il vient ~ x -f- by = c , d’où ba'x -j- bb'y = cb', qui s'écrit ainsi :

b(a'x -)- b' y) =± cb'.

il)

Comparons l’équation (1), mise sous cette forme, à l’équation (2); quels que soient) lés nombres mis à la fois pour x et y, le 1 er membre de (t) est, dans le cas actuel, égal ad 1" membre» de (2) multiplié par 6 ; donc , pour que les deux équations pus-

*’ Digitiz&d by (Soogle

DISCUSSION DES ÉQUATIONS (U -f by e= C , dx-\-h'y — c' . \ 27

sent être vérifiées par un même système de valeurs de x et de y, il faudrait que le 2' membre, cb de l’une fût égal au 2' membre, c', de l’autre multiplié par b ; il faudrait donc que l’on eût

cb' — bc ’

ou

cb' — bc' = 0 ,

ce qui n’est pas , puisque , par hypothèse . cb' — cb' = m.

Les deux équations (1) et (2) ne peuvent doue être vérifiées par un même système de valeurs de x et de y ; on dit alors qu’elles sont incompatibles entre elles (*).

Ainsi donc , quand on a en même temps ab’ — ba’ = 0 et

cb — bc' ou ^ 0 , les équations {1} et (2) sont incompatibles entre

elles, c esl-à-dire , ne peuvent être vérifiées par un même système de valeurs de x et de y.

*38. 3' Cas. ‘ab'r-ba' = 0; cb' — bc' = 0.

Alors la valeur (m) de x se présente sous la forme -. Il en est * ® de même de la valeur (n) de y.

En effet, de ab' — ba' = 0, on on tire —, = p ; de cb' — bc'= 0,

un déduit — = p ; donc % = -, , et par suite ac'—cat, puis ac' — i f C 0 ^ et c

co = 0 ; d’où u == -.

Ces valeurs de a; et de y indiquent en général l’indétermination .

(') Quand les valeurs de x et y se présentent sous la forme ^ on peut, au

point de rue des applications , interpréter ces symboles comme on l’a fait à propos de l’équation AX* = B, n° 120. On peut, supposant cb' — bc' égal à un nombre m, concevoir que les données de la question varient de telle sorte que le dénominateur commun rib' — ba' prenne des valeurs successivement et constamment décroissantes. Les formules (m) et (ni, toujours applicables, donnent pour x et y des valeurs convenables , constamment croissantes , lesquelles peuvent toutes deux devenir plus grandes qu’un nombre donné quelconque, si le nombre ab' — bat devient sullisamment petit (120) : c’est ce qu’on veut exprimer quand on dit que , pour ab' — ba' = O, x = ^ ec ; y — = oc .

COURS d'algèbre.

si on s’en rapporte à ce qui a été dit à propos de l’équation A .x — B , n os 121 et 122.

Voyons s’il en est tle même pour les équations (1) et (2).

De ab' = ha,', on déduit a = ; substituant cette valeur dans

l’équation (1) , elle prend la forme ba' ,

:t x -f- h)i — c équivalant à celle-ci : ba'x + bb'y — cb.

On peut diviser les membres par b. ce qui donne

ax-+-b */= — •

Comparant l’équation (1) mise sous cette forme à l’équation (2) ’, n'a--}- b'y =c', on voit que ces deux équations seraient identiques, cb' , ' ch'

si l’on avait - - = c ; or — — c, puisque, par hypothèse, cb’ —

Les équations (1) et (2) dans, le cas actuel sont donc équivalentes l’une àTautre , admettent exactement les mêmes solutions. Toute solution de (1), prise séparément, est une solution de (2) ( satisfait au système (1) et (2). Or l’équation (1) , prise isolément, admet une inlinité de solutions; donc le système des équations (1) et (2) admet une infinité de solutions.

Quand un a à la fois ab' — ba'=0, cb' — bc' ==0, le système des équations il) et (2) admet en général une infinité de solutions ; on dit qu’il est indéterminé. *

159. Dans ce qui précède nous avons supposé touslescoeflicients • a, b, a', b 1 différents de 0. Si un seul d’entre eux était nul , il n’y aurait pas d’élimination à faire , et avec le système des équations (1) et (2) elles-mêmes, nous serions tout aussi avancés qu'avec le système (5) et (1). Nous allons voir que les formules convienneut au cas où un seul coefficient serait nul, aussi bien qu’à celui où x manquerait dans la première et y dans la seconde, ou vice versa. Ex. : b' = 0; les équations deviennent ax by — c ; a'x = c ... c ' co' — ne'

d ou ,r — -, et u = — — ; ce sont les valeurs que donnent a ba ,•

alors les formules (tid et. n ;.

ÉQUATIONS GÉNÉRALES DU l' r DEGRÉ A 3 INCONNUES. 129

Pour b — 0 même vérification ; les formules s’appliquent quand a seul est nul , ou a' seul nul ; même vérification , même conclusion quand on a en même temps b = 0 , a' = 0 ; les équations se

réduisent à ax = c, b' y = c, lesquelles donnent x — - ; y = — ;

les formules donnent ces valeurs dans le cas actuel.

Même vérification quand 6’ = 0, a = 0.

Si on avait à la fois b = 0 , b' = 0 , les équations proposées ne

seraient plus que deux équations k une seule inconnue ax = c,

ax = c', lesquelles ne pourraient évidemment s’accorder qu’autant

c c' ce'

que - serait égal à — . Ces valeurs -, -7 de x sont d’ailleurs a a a a

celles que donne la formule (m) quand on y introduit l’hypothèse

pour cela ou y remplace c par sa valeur ce qui a a a

ac'b'

bc'

c'( ab ' — 6a') , . c'

-77-r; — r-É, ou bien, x — -, si on a [ab — 6a) a

donne x — — — — ab — 6a

supprime le facteur commun ab' — ba!.

Quant à la valeur (n) de y , elle prend , dans le cas actuel , la

forme ^ , puisque ac' = ca' et ab' = ba' ; y est indéterminé.

Équations du l ,r deyré à trois inconnues ; formules générales.