ÉQUATIONS GÉNÉRALES DU 1" DEGRÉ A 3 INCONNUES

l'élimination, à l’cmidoi de ces formules; aussi ne ferons-nous pas d’application numérique. Ces formules servent principalement à la généralisation de certaines questions qui ‘se résolvent par un système de trois équations à trois inconnues.

On remarque encore ici que les valeurs («), (fi), ( 7 ), de x, g, s , ont même dénominateur. On voit aussi facilement (quand on a déjà traité le deuxième cas) que chaque numérateur peut se déduire assez simplement du dénominateur. On a encore trouvé une règle mnémotechnique servant à écrire immédiatement les formules (a), (fi), ( 7 ) sans passer par les calculs d’élimination que nous avons indiqués.

Règle. Formes les deux arrangements ab, ba des deux lettres a et b. Puis formes et écrives à la suite les uns des autres, par ordre , les trois arrangements de trois lettres que Von peut obtenir en mettant la lettre c à toutes les places possibles , depuis la dernière jusqu'à la première, dans l'arrangement ab ; cous trouvères ainsi :

abc , acb , eab.

Agisses de même avec le deuxième arrangement ba de deux lettres; vous trouveres :

bac, bca, cba.

Écrives ces trois derniers arrangements de trois lettres à la suite des trois premiers , puis mettes devant chaque arrangement , alternativement, l’un des signes + et — ; cous obtenes ainsi le résultat :

abc — acb-f- cab — bac -f bca — cba.

Mettes enfin l’accent' à la deuxième lettre de chaque arrangement , et l'accent " à la troisième, tous aurcs alors le dénominateur commun des valeurs de x, y et 1 .

ab'c" — ae'b" + ca'b" — ba'c" -f bc'a" — cb'a".

Pour obtenir ensuite le numérateur, faites pour chaque inconnue ce que nous allons indiquer pour z. Remplaces dans le dénominateur chaque lettre qui est un coefficient de celte inconnue dans l’une des équations données (1) , (2) , (3) , par le terme connu qui lui correspond dans cette équation. Pour z, par exemple, remplaces c par d , c' par d r , c" par d" ; vous trouveres ainsi pour numérateur de la valeur générale de 1 :

ab'd" — ad'b" + da'b" — ba'd" + bd' a" — db'a".

141 . Nous n’entreprendrons pas la discussion des formules précédentes. Nous traiterons seulement un cas particulier, celui où l’on a simultanément c=0, c' = 0, c” = 0.

(h) ax + by + cx — 0; a'x + b'y + c'x = 0 ; a"x + b"y + c"s = 0 .

Ces équations admettent la solution x=0, y=0, 3 — 0. Pour découvrir si

COURS D’ ALGÈBRE

elles en admettent d’autres , supposons qu’elles en admettent au moins une ; alors l’une des inconnues, au moins, ; par ex., a une valeur différente de zéro. Cela posé, les deux premières équations (h) peuvent s’écrire ainsi :

ax + by — — ex; a'x + b'y — c'x.

En regardant x comme connu , on tire de ces équations par application des formules (m) et (n), page 1Î5, dans lesquelles on remplace c par — ex, et c' par —e'x.

(bc' — cb r )z ( ca' — ac')x ab' — ba' ’ V ~~ ab' — ba' '

Substituant ces valeurs de * et y dans la 3 e des équations données (h) , il vient, tout calcul fait ,

(bc'a" — cb'a" + ca'b" — ae'b" + ab'c" — ba'c")x = 0.

Cette équation sera vérifiée , quel que soit x , si on a la relation

( l ) bc'a" — cb'a" + ca'b" — ae'b" + ab'c" — ba'c" = 0

entre les coefficients des équations proposées. Dans le cas contraire, il faudra qu’on ait x = 0. Mais si on opère de manière à conserver finalement x ou y comme on a fait pour conserver x, dans l’hypothèse que x ou y serait différent de 0 , on arrive à cette même égalité de condition (1).

On conclut de là que le système des équations proposées ( h ) ne peut admettre d’autre solution que x — o, y = o, x = 0, que si la condition (1) est vérifiée par les coefficients de ces équations (h). Cette condition est donc nécessaire. Supposons qu’elle soit remplie, alors on peut en général donner à x une valeur quelconque; on tirera les valeurs correspondantes de x et y des formules (k), si ab' — b a' est différent de 0. Dans ce cas , x ayant une infinité de valeurs , x et y

en auront aussi généralement une infinité, mais les rapports -, et par

suite -, seront déterminés.

Nous disons : en général, car si, par ex., bc' — cb' — 0, x = 0 quel que soit x.

Si ac' — ca! = 0 , y — 0 quel que soit X. Si ab' — ba' n’est pas nul, on ne peut avoir en même temps bc' — cb' = 0, ac' — co' = 0.

Si on avait ab' — ba' — O avec l’égalité de condition (i), mais sans avoir bc' — cb'=zO, on n’aurait pas non plus ac' — ca' = 0. Le calcul précédent fondé sur ce que ab' — bu' n’est pas nul devrait être recommencé ; on pourrait opérer pour garder finalement x comme on a opéré pour garder x ; on déterminerait ces valeurs

(oc' — ca')x (ba 1 — ab')x

y cb' — bc' ’ cb' — bc' ’

qui donnent; = 0, x et y quelconques, le rapport de y à x étant déterminé.