ÉLIMINATION PAH LES COEFFICIENTS INDÉTERMINÉS

Si on avait en même temps ab' — b'a — 0, cl/ — br.' = 0, il en résulterait «c' — ca' = 0. Dans ce cas, l’égalité de condition serait vérifiée; x, ;/, z seraient indéterminés; leurs rapports se déduiraient des équations proposées ( 1 ) et (3), ou (2) et (3) du système (h), les équations (1) et (2) rentrant alors l’une dans l'autre.

142. Nous terminerons ce que nous avons à dire des équations du 1" degré en indiquant une quatrième méthode d’élimination, dite méthode des facteurs indéterminés , laquelle a été donnée par liezout.

Soit à résoudre les deux équations

ax + by = c (1) ; a’x + b'y = c' (2).

Rècle. On multiplie la première équation par un facteur indéterminé m , la deuxième par m’, et on ajoute les deux équations membre d membre; ce qui donne un résultat de cette forme :

(am + a'm')x + (bm + b'm')y = cm + c'm' (3).

On choisit m et m' tels que am 4- a'm' = 0 (i). Les valeurs choisies étant substituées dans l’équation (3), celle-ci ne renfermera plus qu'une inconnue; car elle devient (bm 4-b'm’)y = cm 4- c'm' (1). Si, comme nous le supposons, bm 4- b'm' n’est pas nul en même temps que am + a'm’, cette dernière équation donne une seule valeur de y, y= p.

On donne ensuite d m et m' de nouvelles valeurs , telles que l’on ait bm -f b'm' = 0. Ces nouvelles valeurs étant substituées dans l'équation (3), on a une équation d une inconnue (am + a'm')x = cm 4- c’m’ , laquelle donne x = a, am + a'm’ n'étant pas nul en même temps que bm + b'm'.

y = P, x = a composent, dans notre hypothèse , la seule solution du système proposé (1) et (2).

L’égalité am+a'm' =0 , donne m= — Un des facteurs m ou m' reste

encore arbitraire ; on choisit ordinairement m’ entier et tel que m soit aussi en-

tier. On voit qne , malgré que m et m’ soient indéterminés, le rapport — est

déterminé pour les équations données.

Soient maintenant les trois équations :

ax + by + c;=d (1); a’x + b'y + c's d’(2) -, a"x + b"y + c"z=d" (3).

Règle. On multiplie la première par m , la deuxième par m' , et la troisième par m", on ajoute les trois résultats membres d membres , ce qui donne :

{am + a'm' 4- a"m")x + (bm + b'm' 4- b"m")y + (cm + c'm' 4- c"m")z =dm+ d'm' J- d" m". (4)

Puis on choisit m , m', m" tels qne l’on ait am 4- a'm' + a" m" = 0 , et bra + b'm' + b''m'' = 0. Les valeurs trouvées étant substituées dans (4) , cette équation n’a plies qu'une inconnue, i. On obtient ainsi une valeur de z ; z = y quand, avec les deux dernières égalités, on n’a pas cm -|-r'm' + c"m"=0. Puis on choisit

COURS D’ALGÈBRE

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pour m, m', m" de nouvelles valeurs telles que l’on ait ain + a'm' + a''m" — ü , cm + c'm' +c"m”= 0; ces valeurs étant substituées dam (3] , conduisent d une valeur unique de y, y = [3 dans la même hypothèse que les trois coefficients de x, y, z, ne sont pas annulés par les mêmes râleurs de, m, m', m".

Enfin, en choisissant m, m', m", tels que l'on ail bm + b'm' -f b"m"=0 , cm + c'm'+c"m"=:0 l on obtient une seule valeur de x, x = a dans l’hypothèse susdite, x =a , y = p, i = y , forment la seule solution du système proposé (”).