DES INÉGALITÉS

143 . Ainsi que nous l’avons déjà dit , une quantité est plus grande qu’une autre quand retranchant la seconde de la première on a un reste positif; autrement dit , un nombre quelconque positif ou négatif plus grand qu’un autre est la somme algébrique de cet autre et d’un nombre fositif.

(Dans ce qui suit, le nombre c désignera constamment un nombre positif, une valeur absolue.)

L’inégalité a > b équivaut à l’égalité, a=b + c, dans laquelle on ne connaît pas la grandeur du nombre c ; on sait seulement qu’il est positif. De même, l’inégalité a < b équivaut à l’égalité a = b -r c ; a et b désignent des nombres tout à fait quelconques , positifs ou négatifs.

Voici quelques propositions sur les inégalités :

Théorème. On peut augmenter ou diminuer à la fois les deux membres d’une négalité d’une même quantité quelconque, sans que l’inégalité cesse d'exister dans le même sens.

Ex. : a > b; quel que soit m, on aura a +m >b + m, a — m>b — m; en effet, l’inégalité a > b équivaut à l’égalité a —b-\-c; de cette dernière résulte o + m=b + c+ », on o+m = 6+m + c; donc a + »» > b + m.

De même a — m— b — c — m—b — m+ c; donc a — m > b — ni. Si on avait o< b, on écrirait o=b — c-, d’où o+m=b — c+to, ou a-fm=b + ro — c , donc a 4- m < b + m.

On peut multiplier ou diviser les deux membres d’une inégalité par un même nombre positif sans que l'inégalité cesse d’exister dans le même sens; mais si l’on multiplie par un nombre négatif, on doit changer le sens de l'inégalité.

Ex. : a>b. Écrivons a = b+ c; de cette dernière, en multipliant parm, on déduit a X n» = bXm + cX«».' si ni est un nombre positif, ex»* est un nombre positif; par suite ax® > b x***- Si au contraire m est un nombre négatif, cXm est négatif, et d’après les définitions a X»* < b X *«■

De même, de l’égalité a — b + c, on déduit

(*) Le système am-j- a’m'-f-a"m"=0, bm+ b'm' + b"m"—0, de deux équations à trois inconnues est indéterminé. Pour en avoir une solution , on peut donner une valeur arbitraire à m", et trouver m et m' par la résolution de deux équations à deux inconnues. Ordinairement; on ne donne pas de valeurs à m", mais on le regarde comme connu ; puis ayant des valeurs de m et m’ en m", on dispose de m" de manière que m, ni', m" soient entiers.