PRINCIPES RELATIFS AUX INÉGALITÉS

= - + -. D’où mm m

suivant que m est un nombre positif ou un nombre négatif.

En changeant les signes des deux membres d’une inégalité , on change le sens de l'inégalité.

Par exemple , de a > b résulte — a < — b.

En effet, a > b équivaut à a=b + e , d'où — a=—b—e, puis — a< - *b. (Déf.) (

On peut ajouter les membres correspondants de plusieurs inégalités de même sens ; il existe entre les sommes une inégalité de même sens.

Es. : de a > b, a' > b’, a" >b", résulte a+a' + a" >b + b' + b".

En effet, d ea=Mc, aé=b'+c', o"= b" + d', résulte a -|- a’ + a" = b 4-6' + b"-f (c + c'+e")i ce qui démontre la proposition. i

On ne peut , en toute sécurité , soustraire membre à rfembre deux inégalités de même sens.

Ex.: a > b, a' >b’. Écrivons o=rb + c, a' = b' 4 - d ; on déduit de là a— a' — b — b' + c —c'; comme on ne connaît pas les valeurs de c et d, que l’on sait seulement être positifs, on ne sait s’il faut écrire a— a' > b — b', ou a — a' < b — b'.

On ne peut ajouter deux inégalités de sens contraires.

On peut soustraire l’une de l’autre deux inégalités de sens contraires; il existe entre les' restes une inégalité de même sens que celle dont on a soustrait. s

Ex. ; a >b, a 1 < b'. Écrivons a = b -f c (t) , a' — b' — d (2). Si on retranche (2}de (1), on trouve a—a'—b—b' + c + d, d’où a—a'>b—b'; si on retranche, au contraire, (1) de (2) , on trouve a'— a=b' — b— c' — c, d’où a' — a < b' — b.

On peut multiplier des inégalités de même sens existant entre des nombres positifs ; cela est évident. On peut élever à la même puissance quelconque les deux membres itune inégalité, s’ils sont positifs. *

On peut multiplier des inégalités, membres à membres , quand les deux membres de chacune sont négatifs, si ces inégalités sont en nombre impair. On peut élever à une puissance impaire les deux nombres négatifs.

En effet, les deux membres de l’inégalité nouvelle sont négatifs, et quant aux valeurs absolues, on rentre dans le cas précédent.

Par application de ce qui précède , on peut transposer les termes d’un membre d'une inégalité dans l'autre comme pour une équation ; on peut chasser les dénominateurs d’une inégalité, pourvu qu'on sache le signe du dénominateur commun, afin d’écrire l’inégalilé finale dans le sens convenable. Tout cela se démontre comme poqr les équations.

Dès lors on conçoit qu’on pent résoudre une inégalité du premier degré comme on résout une équation , c’est-à-dire ramener l’inégalité à la forme x>a, comme on ramène l’équation à la forme x=a. La règle est la même (67).

COURS D'ALGÈBRE

12 peut servir de dénominateur commun. En multipliant de part et d’autre par 12, on trouve 8x— 18 >31+1; transposant, on trouve Sx— 3x>18 + 7 , ou 5ar >25, d’où enfin x> 5 : c’est-à-dira que l’inégalité (I) sera vraie pour toute valeur de x plus grande que 6.

On peut aussi , dans certains cas , éliminer une inconnue entre deux inégalités du premier degré à plusieurs inconnues , à l’aide de la méthode dite par addition ou soustraction.

'On peut toujours ramener les deux inégalités à êtTe de même sens, si cela est nécessaire, en changeant tous les signes des dfcux membres de l’une d’elles seulement.

Étant données deux inégalités de même sens entre deux inconnues , on peut toujours obtenir deux inégalités équivalentes dans lesquelles une des inconnues ait le même coefiieient; on y arrive, en opérant comme sur deux équations. Cela étant fait, si l’inconnue considérée a des signes contraires dans les deux membres , l’addition des inégalités fournira une inégalité renfermant seulement l’autre inconnue. Si les deux inégalités proposées ne renferment pas une des inconnues au moins avec des signes contraires , la méthode ne s’applique pas , vu que la soustraction n’est pas permise.

Ex.: 5x— 6y >20; 3x + 8y>36.

On multipliera première inégalité par 4 , la deuxième par 3 , ce qui donne : 20.r — 2iy > 80; 9*4- 24, 7 > 108.

En ajoutant, on trouve :