INTRODUCTION

Égalité. a = b; lisez a égale b.

Inégalités, a >6, a plus grand que 6; a <6, a plus petit que b.

L’indication à l’aide des signes précédents d’opérations à effectuer sur des lettres dont la valeur n’est pas fixée se nomme une expression algébrique, ou bien une formule algébrique.

5. Avant d’aller plus loin* nous allons montrer sur quelques exemples les avantages qui résultent de l'emploi des lettres et des signes abréviatifs.

1° Il abrège l’énoncé des propositions générales relatives aux nombres.

Ex. : Ce théorème : Le produit de deux nombres ne change pas quand on intervertit l’ordre des facteurs , peut s’indiquer ainsi :

La somme de deux nombres ne change pas dans quelque ordre qu'on les additionne *

Une fraction ne change pas de valeur quand on multiplie ses deux termes par un même nombre

a axm b bxm '

2° A l'aide des lettres et des signes abréviatifs, on indique d’une manière nette et concise la suite des opérations qui conduisent à un but déterminé.

La formule (a + b) 3 = a 3 -f- 3o 5 ô-}-3 a.fc 5 -}-6 3 indique la suite des opérations à effectuer sur deux nombres donnés quelconques, a, b, pour obtenir le cube de leur somme.

On jugera de la concision de l’écriture algébrique en comparant cette formule à sa traduction en langage ordinaire :

Le cube de la somme de deux nombres est égal au cube de l’un de ces nombres , plus trois fois le produit du carré de ce premier nombre par le second , plus trois fois le produit du premier nombre multiplié par le carré du second, plus le cube de ce second nombre.

L’usage des lettres, en abrégeant ainsi l’énoncé des règles gé-

h COURS D’ALGÈBRE.

nérales et des théorèmes , rend ces énoncés plus faciles à retenir.

Il rend souvent plus précise et plus générale la démonstration des théorèmes.

Ex. : Ou’ arrive-t-il à une fraction quand on ajoute un même nombre à ses deux termes ?

Soit ~ la fraction proposée; m le nombre que l’on ajoute à ses b

eux termes ; il faut comparer les deux fractions

a , a-fm .

t et T- . -- .

Ces fractions réduites au même dénominateur deviennent

ab -f- am ab -f- b ni 6* -} -6m b x -j-bm *

Il faut comparer les numérateurs ab-\-am, ab-\-bm; à cause de la partie commune axb, il n’y a qu’à comparer axm et bxm, ou bien a et b. •

Si b >» a, c’est-à-dire si la fraction donnée est plus petite que 1, la seconde fraction est plus grande que la première. Si b<a, c’est-à-dire si la première fraction est plus grande que 1 , la seconde fraction est plus petite que la première.

Ce qui prouve d’une manière tout à fait générale que si l’on ajoute un môme nombre aux deux termes d’une fraction, cette fraction augmente quand elle est moindre que l’unité, diminue dans le cas contraire.

Problème. La somme de deux nombres est 72, leur différence est 8; quels sont ces nombres ?

Si l’on connaissait l’un des nombres donnés , on en déduirait l’autre ; cherchons le plus petit nombre.

Pour désigner l’inconnue , il nous faut dire le plus petit nombre ; cette périphrase allonge le discours ou augmente les écritures, et cependant on ne peut écrire cette inconnue en nombre ; l’algèbre abrège en la désignant par une seule lettre ; nommons-la x.

Le plus petit nombre étant x et la différence des deux nombres