INTRODUCTION

étant 8 , le plus grand est x 4-'8 , et la somme des deux nombres a:-(-a;-(-8,ou2a;-)-8; mais cette somme est égale ;i 72 ;

Otons 8 de part et d’autre, nous aurons 2x — 72 — 8 = 64 ; 2

fois x valant 64, x = — = 32.

Le plus petit nombre étant 32, le plus grand est 32 -f 8 ou 40.

lîn résolvant ce problème sans employer aucune lettre, on verrait par comparaison combien ce simple emprunt d’une lettre 4 l’algèbre apporte de netteté et de précision dans la suite du raisonnement et des calculs.

Mais si courts que soient ces calculs, ils altèrent tellement les nombres donnés , que les résultats 32 et 40 ne conservent pas la moindre trace de ces nombres donnés 72 et 8. Si l’on supprimait le raisonnement intermédiaire , on ne verrait pas du tout comment les résultats se composent avec les données; de sorte que si l’on avait à résoudre exactement la même question sur d’autres nombres donnés que 72 et 8, il faudrait recommencer tout le raisonnement et les calculs.

L’algèbre donne le moyen de résoudre la question généralement, une fois pour toutes. Pour cela, elle représente les nombres donnés eux-mêmes par des lettres , de cette manière :

La somme de deux nombres est a, leur différence est b ; quels sont ces nombres?

Soit x le plus petit nombre ; le plus grand sera x -)- b.

Somme des deux nombres : x-\-x-\-b = 2x-\-b; mais cette somme est d’ailleurs égale 4 a; nous aurons donc

Retranchant b départ et d’autre, nous trouvons 2 x—a — b-, a — b a b

Le plus petit nombre x étant égal à - — „ , le plus grand x-\- b

COURS d’algèbre

Les 2 résultats a; =- — - , ,r =- — b - = - -+- - sont des

formules qui nous apprennent une fois pour toutes que dans les

questions du genre de la nôtre, le plus petit nombre s’obtient en

retranchant la demi-diflërence de la demi-somme, et le plus

grand en ajoutant la demi-somme à la demi-différence.

L’algèbre simplifie donc, et surtout permet de généraliser la résolution des questions sur les nombres.

Souvent l’utilité d’une formule s'étend au delà de la question générale pour la solution de laquelle elle a été trouvée ; elle sert à résoudre autant de problèmes qu’il y a de quantités distinctes indiquées dans celte formule.

Par exemple : En arithmétique , après avoir résolu la question des intérêts simples sur des nombres particuliers , nous l’avons traitée d’une manière générale en employant des lettres pour désigner toutes les quantités de cette question dont voici l’énoncé : Trouver l’intérôt 1 que produit en t années un capital a, placé à i pour 100 par an ; nous avons trouvé cette formule si simple, si commode , si facile à retenir :

ait

ïôtT’

L’utilité de cette formule ne s’est pas bornée à la solution de la question précédente ; remarquant qu’elle exprime entre les quatre quantités I, a, i, t, une relation nécessaire, indépendante de l’hypothèse que l’une de ces quantités serait plutôt inconnue qu'une autre, on l’a fait servir successivement à la résolution des quatre problèmes principaux concernant les intérêts simples.

En multipliant les 2 membres de l’égalité (1) par 100, on l’a d’abord transformée ainsi :

1001 = ait. (2)

Puis de celte égalité (2) on déduit facilement les 3 suivantes :

iX t a. t a.i

Dont chacune a son utilité spéciale bien évidente. (V. l’Arithmé tique pour plus de détails.)