CALCUL DLS RADICAUX DU SECOND DEGRÉ
Ex. : 3a 1/ ab* X5c|/ ab=3aX5c. 1/ ab*X 1/ ab — lSac 1/ a‘b 4 ; de même,
^ a 1/ ac X ^ ab V a 3 = ^ a s b 1/ a'c. a’b 4 étant un carré parfait , nous pou- 2 3 6
vons écrire 15œ X ab* ou 15a'b*c à la place de 15ac V a ! b*. On voit par là que le produit de deux quantités irrationnelles peut être une quantité rationnelle.
Ex. de division : 6 a 1/ a 3 b : 3cl/ab* = —
Puissance d’un radical. (l/ a)* = a, (l/a)* = (1/ a)’l/ a = al/a, (l/a) 4 = (l/â)>X (V / â)»= : a*.
En général, (l/â)** = (1/ a. 1/ a) (\/ a. a) ... (l/a. l/a) ,il y a n de ces
facteurs mis entre parenthèses ; donc (l/a) 2* = a*.
On a de même (|/a) s "+ l = [[/ a)»* X l /â"= a" l/ô : De là un théorème facile à énoncer.
La règle précédente , relative à la multiplication , permet de faire sortir d’un radical certains facteurs, ou de faire entrer des facteurs sous le radical , suivant la convenance du calculateur.
Ex. : 1/ â*b = l/ô 4 X l/b = a* l/b.
En général , '1/ A*B = 1/ A* 1 /b — A l/F.
ilîi. De là une règle : Quand une quantité sous un radical peut être décomposée en deux facteurs , l'un carré parfait , l’autre qui ne l’est pas , on peut , en laissant ce dernier seul sous le tadical multiplier ce radical par la racine de l’autre facteur; c’est ce qu’on appelle faire sortir des facteurs du radical.
Ex. : 5a 1/ a 5 b*c = 5a \/ a 4 b‘ X ac = ba.a’b 1 1 / ac — 5a*b J l/ ac.
En retournant l’égalité ci-dessus, en écrivant aI/ B = V^A’B, on conclut cette règle : On peut faire entrer sous un radical chacun des facteurs rationnels qui le multiplient au dehors; pour cela, il suffit , supprimant ce facteur au dehors, de multiplier la quantité sous le radical par le carré de ce facteur.
Ex. : 5 ab* 1/ac = V' 25a*b 4 e.
La première règle étant appliquée à des radicaux donnés, il arrive que des radicaux, dissemblables en apparence, deviennent semblables , ce qui est fort utile pour l’addition et la soustraction.
Ex. : 5a a’b et 7b 1/ a s b* qui deviennent 5a* l/ ab et 7a*b 3 1/ ab.
On doit toujours appliquer cette règle n” 151, si on le peut , avant de procéder à une addition ou une soustraction de radicaux.
Cette première règle peut être développée ainsi : Pour réduire, autant que possible , la quantité écrite sous le signe 1/ , on décompose le coefficient numérique en ses facteurs premiers ; cela fait , on écrit à droite du signe \/ , tous les facteurs qui ont, sous le radical donné, des exposants supérieurs à 1, en les affectant d’un exposant égal au quotient entier de la division par 2 de ces exposants primitifs supérieurs à I ; puis, sous le radical, on écrit à la première puis-
COURS D'ALGÈBRE
sance tous les fadeurs qui avaient, sons le radical donne, des exposants impairs. S’il y avait déjà une quantité hors du radical, elle multiplie celle qui s’y place d'après notre règle. Voyez l’exemple ci-dessus.
Ex. : 3a l/l2a"b a c»d=3« 1/2* X 3a 8 a.b»6c’-d == 3a X 2 a>bc 1/3 abd.
131 . Les facteurs dont le dénominateur renferme des radicaux peuvent être quelquefois remplacés par d’autres équivalents dont le dénominateur est rationnel.
7 7XV/ÎÎ 7 V / H 3 3 l/î z\Zq
V7i~Vn Xl/ll H 4l/ï 4.7 28
En général ,
1/5 + l/c l/J “ [(l/b + 1/7) - l/d] [(l/b + l/c ) + l/d] a( t/b + |/ç + l/d) b + c+2|/bë — d
En multipliant haut et bas par (b + c — d) — 2 I/ bc, on arrivera au dénominateur rationnel (b + e — d? —4 bc. On continuerait «le même s’il y avait un plus grand nombre de radicaux au dénominateur,
