ÉQUATIONS B I CAR HÉ ES

175. I .es propriétés précédentes des racines de x* -\-px-X-q = o permettent de dire les signes des racines d’une équation du deuxième degré , si ces racines sont réelles , à l’inspection seule des coefficients.

Remarquons, en passant, que d’après les-formules mêmes, les

racines sont réelles quand on a - — q

=0, ou — — q>0.

Cela posé, si q est positif, les deux racines soûl de même signe, puisque leur produit q est positif. Le signe commun de ces racines est celui de leur somme, — p ,• donc elles sont de signe contraire à p.

Ex. : x ! — 5a; -{-6 = 0; 6 étant positif, les deux racines de celte équation sont de même sign leur somme égale 5 : donc elles sont positives.

2 e Ex. : 3a; 1 -(- Ix -(- h = 0 (forme ax ! 6a; -f- c = 0).

Le produit des racines étant -f- » elles sont de même signe ;

leur somme étant

- , elles sont toutes deux négatives.

Si q est négatif , les deux racines sont de signes contraires, puisque leur produit est négatif. La racine qui a la plus grande valeur absolue donnant son signe à la somme des deux racines, a le même signe que cette somme — p. La plus grande racine en valeur absolue esl donc celle qui est de signe contraire à p.

Ex. : 3.r s -f- Ix — U = 0.

A cause de — ^ , les racines sont de signes contraires; et la

plus grande, en valeur absolue, est négative, à cause de — \

Équations bicarrées.

174. La résolution d’une équation du quatrième degré à une inconnue peut être ramenée à celle d'une équation du second degré, quand'elle ne renferme que la quatrième et la seconde puissance de l’inconnue. Une pareille équation peut toujours se ramener à la forme ’

x* + px' -\- q = ü. (1)

C’est là ce qu’on appelle une équation bicarrée.

106 COURS D’ ALGÈBRE

Pour la résoudre , nous posons r 1 = y , d’où r‘ = t/ s . L’équation (1) devient alors

,f + py + q = 0. ( 2 )

Résolvant celte dernière , nous trouvons y

— S=Vî

Pour avoir les valeurs de x , nous observons que x' = y donne

Nous avons donc x

x a quatre valeurs, lesquelles correspondent deux à deux, à chacune des deux valeurs de y. Si, par exemple, nous distinguons les valeurs de y en écrivant y' — — £ -f- ~ — q,

y" — — ^ j — q , h y 1 correspondent deux valeurs de x,

* = A/-l+V^- «'-V-S+n/Të

à y" deux autres valeurs, x" — -f- — ~ — \ / / ^ — q,

— Y/ ~ — q. Ces racines sont deux à deux

égales et de signes contraires, x t ' = — x ' , x" = — x" -, la somme des quatre est donc nulle (*).

Application. Résoudre jr k — lia? 5 -f 18 = 0.

Posons x * = y, par suite x K = y i ; nous avons ainsi y* — lit/

-f 18 = 0 ; laquelle résolue donne y = —

* (*) Leur produ it est égal à q ; en effet, nous avons l/y', x”=+^/ y",

donc ic'x"=\/y'y"; de même x', = — Y / ÿ r , at",=— V ÿ^, donc x,'x," = V y'y". Donc enfin x'i"x,'x," = l^y'y" X Vy'y" = ÿÿ'— q,-

ÉQUATIONS BICARRÉES.

Op aura donc:

* = ±\/ïï±vf^=*V tA/^=