NOTIONS PRÉLIMINAIRES

4. L’utilité des expressions ou formules algébriques ayant été mise en évid ence , nous allons , étudiant plus particulièrement ces expressions algébriques, nous occuper des opérations que l’on peut avoir à faire sur les nombres ainsi représentés. Complétons d’abord les définitions.

Toute expression algébrique dans laquelle le signe de l’addition ou de la soustraction ne lie pas deux quantités au moins , s’appelle un monome. Ex. : 5a 3 6*.

Un ■polynôme est l’assemblage de plusieurs monomes liés entre eux par les signes -f- ou — . Ex. : 5 a 3 b- — 3 a*b -f- lac. Les monômes 5a 5 6*, 3 a-b, lac sont les termes du polynôme.

Un polynôme composé de deux ou de trois termes reçoit le nom de binôme ou de trinôme.

On donne quelquefois le nom de termes positifs aux termes d’un polynôme qui sont précédés du signe +, et de termes négatifs à ceux qui sont précédés du signe — .

Un monome isolé écrit sans signe doit être considéré comme précédé du signe -f*

Il en est de même du premier terme d’un polynôme quand ce terme n’est précédé d’aucun signe.

Une expression algébrique peut renfermer l’indication des six opérations: addition, soustraction, multiplication, division, élévation aux puissances, extraction des racines.

Ex.

5 ah — 3oc 2a* -j- 3 6c

Une expression algébrique est rationnelle quand aucune extraction de racine n’y est indiquée ; dans le cas contraire, elle est irrationnelle.

Une expression rationnelle qui ne renferme l'expression d’au- ‘ cune division à effectuer est dite entière ,• dans le cas contraire , elle est fractionnaire.

Ex. : J/a 3 -)- 6* V a-\-h, expression irrationnelle.

’ ex P resnon rationnelle fractionnaire. « a 3 — 2ab -f- b 2 , expression entière .

COURS D’AI.GÈHRE.

Pour indiquer qu’une opération concerne tout un polynôme, et non pas seulement un de ses termes, on enferme ordinairement ce polynôme entre parenthèses ( ) comme il suit : (5 a s 6* — 3a*6 -f Ua)\ puis on met le signe indiquant l’opération à côté de l’une ou de l’autre parenthèse , à droite ou à gauche , exactement comme on le mettrait à droife ou à gauche d’une simple lettre à laquelle s’appliquerait la même opération.

Ex. : Pour indiquer que du monorne 3a*6 on doit soustraire le polynôme 5a 3 -\-ha — 7, on écrit 3 a s 6 — {5 a ! + -ia — 7j. Pour indiquer la multiplication du binôme 3a s 6 — bc par le trinôme ko} — 3ac -f- 2 , on écrit (3a’6 — bc) (6a* — 3ac -(- 2). Pour la division , les parenthèses ne sont nécessaires que lorsque l’opéra-

Sa— 26

tion est indiquée par deux points :

, et (3a— 26): (2c— 5d)

indiquent également le quotient de 3a — 26 par 2c — 5 d.

Élévation aux puissances : (5a ! 6 — hac -)- 8) 3 , — ^T~\ •

Les parenthèses s’emploient même pour un monome quand la notation habituelle, entendue suivant les conventions du n° 2, n’indique pas l’opération qu’on a en vue dans toute son étendue quant au signe et à toutes les lettres. Ex. : le cube de 5a 3 6 l c s’indique ainsi : (5a 3 6*c) 3 . Si l’on écrivait 5a 3 6 s c 3 , sans parenthèses, on indiquerait l’élévation au cube du seul facteur c, tandis que c’est le produit même 5a 3 6’c qui doit être élevé au cube.

3. La valeur NUMÉRtpUE d’une expression algébrique quelconqtie est le nombre unique que l’on obtient en remplaçant les lettres qui y entrent par des nombres donnés, et effectuant sur ces nombres les opérations indiquées par les signes ou notations.

1 er Ex. : formule ;

: Tôô

1250 X 6,50 X- 1250 x a 5Q x 8 ftSOOO

■lüü 100 X 3 300

150 est ce qu’on inomme la valeur numérique de l’expression algé-

VALEURS NUMÉRIQUES DES EXPRESSIONS ALGÉRRIQUES. 9 fl X t X f .

brique — — — pour les valeurs ci-dessus données de a, i, t.

2' Ex. : valeur numérique de 5a’6 3 pour a = 4 , b — 2

3' Ex. : pour a— U, 6 = 2, 6 = 3 la valeur numérique de

6. La valeur numérique d'un polgnome est la différence entre la somme de ses termes précédés du signe +, et la somme de ses termes précédés du signe — ; {Voir, si l’on veut, la note ci-dessous). (*)

7. Jusqu’à nouvel ordre nous raisonnerons exclusivement dans l’hypothèse que les valeurs attribuées aux lettres sont telles que la première de ces deux sommes surpasse la seconde. Nous ne considérerons pas non plus de monomes isolés précédés du signe — .

Nous n’aurons de cette manière pour valeurs numériques, soit des lettres, soit des expressions algébriques, que des nombres

(') Les définitions 5 et G de la valeur numérique d’un polynôme sont absolument équivalentes ; appliquées toutes deux à la meme expression algébrique, elles ne peuvent manquer de donner le même nombre.

En effet, elles ne diffèrent aucunement si on limite le polynôme proposé à ses deux premiers termes; cela posé, on démontre très-aisément que si les deux définitions appliquées fournissent le même nombre pour un polynôme limité à ses n premiers termes , elles fourniront encore le même nombre si l’on y considère un terme de plus. Ex. : Un polynôme étant limité à ses six premiers termes, les deux définitions appliquées ont donné la valeur numérique 10; le septième terme du polynôme est + 8. r* Définition : dans le calcul de la valeur numérique, étant arrivé au septième terme, on dira 10 + 8=18. 2* Défini lion .pour les six premiers termes, la somme des termes précédés du signe + l’emporte de 10; pour les sept premiers termes, cet excès devient évidemment 10 + 8=18.

Supposons que le septième terme soit — 4. 1" Définition: arrivé au septième terme, on dira 10 — 4 = G. 2* Définition: quand on ne considère que six termes, la somme des termes précédés du signe + surpasse de G celle des termes prédés du signe — ; quand on en considère 7, le dernier étant — 4 , l’excès de la première somme sur la seconde se réduit à 10 — 4 = 6. Ce raisonnement réussit dans fous les cas possibles , même quand on s’affranchit de la restriction énoncée n” 7. *

COURS O’ALGÈRRK.

tels que nous les avons considérés en arithmétique , entiers , fractionnaires, ou incommensurables.

îî. La valeur d'un polynôme ne change pas quand on intervertit l’ordre de ses termes d’une manière quelconque.

En effet, il a toujours les mêmes termes précédés du signe + et les mêmes termes précédés du signe — .

Réduction des termes semblables.

Cette remarque permet souvent de simplifier un polynôme par la réduction des termes, semblables.

9. On nomme termes semblables des monomes qui ne diffèrent que par les signes ou les coefficients. Ex. : dans le polynôme 5a 3 b s c — Sab s + la > b , c — 2a 3 b*c+ 5 ab l , les termes 5a 3 b*c, 7a s b 3 c, — 2 a 3 b ! c sont semblables; — 8ab 3 , 5o6 3 sont également semblables entre eux.

On peut, comme il suit, remplacer par un terme unique tous les termes d’un polynôme semblables entre eux.

Règle. On fait, d’une part, la somme de tous les coefficients de ces termes précédés du signe + , d’une autre part la somme de tous les coefficients précédés du signe — ; on retranche la plus petite somme de la plus grande ; on donne au reste le signe de la plus grande somme obtenue ; puis on écrit « la place de tous les termes semblables ainsi considérés un terme semblable à eux , ayant pour coefficient le résultat de V opération précédente.

Ainsi, dans l’exemple cité plus haut, l’ensemble de termes semblables, 5a 3 b‘c + 7a 3 b‘c — 2a 3 b*c, se remplace par 10a 3 b*c (5 + 7 — 2 = 10); l’autre ensemble, — 8ab s + 5ab 3 , se remplace par — 3ab 3 ; le polynôme proposé composé de cinq termes peut être remplacé par l’expression équivalente, mais plus simple, 10a 3 b 3 c — 3 ab 3 . L’exactitude des opérations précédentes est évidente ; 11 en est de même dans toutes les réductions de termes semblables.