V /^ =±V /TT|I

En séparant les signes placés sous lo radical , nous avons

x' — — ± s , puis x" — =dz[/2.

Nous avons trouvé quatre racines:

175 . En discutant la formule (*) au même point de vue qu’on a discuté la formule générale des racines de l’équation du 2 e degré , ou arrive à des conséquences analogues. Nous allons chercher les conditions que doivent remplir les coefficients p et q de l’équation bicarrée : 1° pour (pie cette équation ait ses quatre racines réelles ; 2° pour qu’elle en ait deux réelles et deux imaginaires; 3° pour que les quatre racines soient imaginaires.

On arrive facilement à ces conditions en ayant égard aux égalités ci-dessous :

y = + VJ, x; = -[/>)', x u = + vj, x," = -VJ,

y' et y" étant , comme on sait , les racines de l’équation

Pour que les quatre racines de x 1 -f = 0 (1) soient

réelles, il faut et il suflit évidemment que les racines y' et y" de l’équation du deuxième degré soient réelles et positives. Pour cela,

il faut: 1° que l’on ait — 7 > 0; 2“ que q soit positif, q>0,

puisque ?/ et y" doivent être de même signe-, 3° enfin, il faut que p soit négatif, p < 0 , puisque la somme y' + y"= — p doit être positive. Oes conditions sont évidemment suffisantes car, si

cours d’algèbre.

elles sont vérifiées, les racines y' et y" de l’équation (2) sont réelles et positives.

Si l’on veut que l’équation bicarrée ait deux racines réelles , et deux imaginaires, il faut d’abord que y' et y" soient réelles, car une d’elles au moins doit être réelle, et elles ne peuvent l'être

l’une sans l’autre; on doit donc avoir — — y> 0. Cela étant,

y' et y" devront être , l’une positive , l’autre négative ; autrement il y aurait quatre valeurs réelles de oc , ou il n’y en aurait aucune ; y' et y" étant de signes contraires, q doit être négatif , q < 0. Il n’y a pas de condition pour p, lequel peut être positif ou négatif. On peut remarquer que si la condition q <C 0 est vérifiée , l’autre

— q > 0 ne peut manquer de l’être :

ninsi rlnnr* . In spiiIp

condition nécessaire et suffisante pour que l’équation bicarrée aé-j-p.r s -|-y = 0 ait deux racines réelles et deux imaginaires, est celle-ci, q < 0.

Pour que x* px s -{■ q — 0 ait ses quatre racines imaginaires, il faut que y et y" soient toutes deux imaginaires , ou toutes deux négatives , si elles sont réelles.

On sera dans le 1" cas si L t q < 0 ; dans le 2 e , si -, q étant

>o,onay>0,p>0.

L’équation as* -}- 1 1 jc* -f- 1 8 === 0 est dans ce dernier cas; on voit à priori qu’elle a toutes ses racines imaginaires. En effet, quel que soit le nombre positif ou négatif que l’on y mette pour x, les trois termes, x K , ll.r 4 , 18 étant des nombres positifs, on ne saurait avoir x’’ + llx* + 18 = 0 .