DES ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ A DEUX INCONNUES

170. La forme générale d’une équation du second degré à deux inconnues, après toute réduction de termes semblables, est évidemment celle-ci :

ay*-\-bxy + cx*-\-dy-\-ex-{-f=Q.

Une telle équation , considérée isolément, admet une infinité de

ÉQUATIONS DU 2 e DEGRÉ A DEUX INCONNUES. 169

solutions ; pour que le problème soit déterminé , il faut deux équations. Soit proposé de résoudre le système

ay- bxy + ex* + (///+ ex + f= 0 v l)

a'y*+b'xy+*j*+d } ,+e'x+r = 0. (2)

La première idée qui se présente est d éliminer une des inconnues. Si une des inconnues, y par exemple, n’entrait qu’au premier degré dans l'une des équations , cela serait facile à faire par la méthode de substitution ; regardant x comme connu , on tirerait la valeur de y de cette équation , et on remplacerait y par cette valeur dans l'autre équation; on aurait pour résultat une équation en x seul. Quand a ou a' sera nul, on suivra cette marche; quand c ou c' sera nul, de même. Dans tout autre cas, on opérera comme il suit : Pour éliminer y* entre (1) et (2), on multiplie la première par a et la seconde par a, puis on retranche le produit (1) du produit (2); on trouve ainsi :

( ab ’ — ba') a - »/-)- ( ac ' — ca') a?* 4- (ad 1 — da!) u

+ {aJ-ea')x+af'—fa'= 0, (3)

équation qui ne renferme y qu’au premier degré; on en déduit

(ac — ca') j" s -)- (ae — ca') x-\-af — fa' .

^ (ab' — ba) x -f- ad’ — da’

En substituant cette valeur dans l’équation (1), ou dans (2), on obtient une équation du quatrième degré en x de la forme

A# 1 Bj-’ -(- Gr ! -f- D.r-(- E = 0 , (5)

que nous ne savons pas résoudre en général. Si on connaissait les racines de l’équation (5) , on remplacerait successivement x par chacune d’elles dans l’égalité (4) , ce qui donnerait chaque fois une valeur correspondante pour x. On aurait ainsi toutes les solutions du système (1) et (2).

Nous savons résoudre l’équation (5) dans le cas où B = 0, D=0, elle est alors bicarrée.

COURS D’ AI.GÊTÎRE.