APPLICATIONS DE LA THÉORIE DES ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ
Problèmes et Exercices.
177. 1" Problème. Plusieurs personnes font en société un dîner dont la carte se monte à 120 fr. Deux de ces personnes s’en vont sans payer; les autres, obligées de payer pour elles, donnent chacune 3 fr. de plus qu’elles si auraient donné sans cela. Combien y avait-il de personnes à ce dîner, et combien a payé chaque personne ? Soit x le nombre de personnes cherché. Si toutes avaient payé,
chacune aurait donné — ; x — 2 seulement ont payé; chacune
de celles-ci a donc payé - — D’après l’énoncé
On peut chasser les dénominateurs en multipliant de part et d’autre par ( x — 2) x — x i — 2 x. Cela n’a pas d’inconvénient , car ni x ~ 0, ni x = 2, n’est racine de l’équation ci-dessus. On trouve alors 120 a; = 120.? — 2û0 -f- 3#’ — 6.r. Réduisant et divisant des deux côtés par 3 , on trouve
En résolvant cette équation, on trouve x = 1 ± V/ 1 +80 = 1 ± 1/81 = 1 ±9.
Les. deux racines sont a;' = 10, x" — — 8. Évidemment la solution positive est la seule convenable; il y avait au dîner 10 per-
sonnes. Chacune d’elles aurait donc dû donner — , ou 12 francs;
8 seulement ayant payé , chacune d’elles à dû donner 15 francs.
Si on veut interpréter la valeur négative trouvée pour x , on changera x en — a’ dans l’équation (1), ce qui donne
nr
ou bien en changeant tous les signes :
Cela fait voir que la valeur absolue 8 de la racine négative de (1) satisferait au problème suivant.
"f* Plusieprs personnes panent en commun un écol de 120 francs; si la dépense avait été payée par deux personnes déplus , chacune aurait payé 3 francs de moins. On demande combien de personnes ont payé.
•U 2' Prorlème. Deux ouvriers ont un ouvrage à faire. Si chacun l d'eux en faisait la moitié, il leur faudrait en tout 25 heures de travail pour le terminer; mais s’ils y travaillent ensemble, l’ouvrage sera fait en 12 heures. Combien d’heures chacun d’eux emploierait-il à faire l'ouvrage entier s’ il travail lait seul .
Chaque ouvrier faisant la moitié de l’ouvrage . celui-ci serait terminé en 25 heures; soit a 1 le nombre d’heures employé par l’un des ouvriers pour faire tout l’ouvrage à lui seul ; pour en faire la
moitié il mettrait — ; l’antre met donc 25 — - pour faire l’autre
moitié, et mettrait 50 — x pour faire tout l’ouvrage à lui seul.
Le premier mettant x h à faire seul tout l’ouvrage , en 1 heure
fait une partie de l’ouvrage représentée par — ; l’autre faisant
l’ouvrage à lui seul en 50 ft — x, fait en 1 heure — de l’ou-
vrage ; à eux deux ils en font en 1 heure — (- — ; mais puisque
x aO — x
travaillant ensemble ils mettraient 12 heures pour faire l’ouvrage
entier, ils en doivent faire — en 1 heure ; on a donc à résoudre
l’équation — I- = — .
3" Problème. Un capital , plus son intérêt pour 8 mois , égale 4160 francs; un autre capital , plus son intérêt pour 10 mois, égale 6300 francs. La somme des deux intérêts est 460 francs. Trouver le taux d’intérêt.
Soit x ce taux. Désignons un instant par a le premier capital ,
COURS d’algèbre.
et par «'.le second. Nous allons chercher les deux intérêts de a et de a', et nous égalerons leur somme à 160 fr. Nous nous servi-
rons pour cela de la formule I = - (1)
Nous avons d’abord « + 1 = 6160 francs. f2)
De (1) nous tirons a = ; remplaçons « par cette valeur.
dans (2) ; nous avons ainsi
d’où
puis
Dans notre problème i — x j 8 mois = ^ d’anuée, ou f = -.
Nous avons donc 1 =
Si on appelle l' l’intérêt du second capital , 10 mois étant les d’un an, on aura
Nous avons donc l’équation
dont on peut diviser tous les termes par 10. Cela fait, si nous chassons les dénominateurs , nous avons:
qui , tout calcul fait , devient :
1000 3;* + 122000a; =828000 , d’où x s + 122x=828.
En résolvant cette équation , on trouve :
Le taux cherché est 6. La seconde racine ne convient pas au problème.
U’ Problème. Trouver deux nombres dont on connaît ta somme et le produit.
Soient x et ;/ ces deux nombres. On donne j--(- y — a (1), xy=b (2) ; de la première égalité on tire y = a — x; cette valeur étant mise dans la seconde , on trouve x{a — x) — b, ax — x'—b, ou enfin x ' — ax -}- 6 = 0 (3) .
Le nombre appelé x est une des racines de cette équation (3) ; il est facile de voir que y est l’autre racine ; soient, en effet, x’ et x" les racines de (3j, .r'-|-x" = «; donc x-{-y =x'-(-x''; mais x — x', donc y — x". D’ailleurs, rien ne distingue y de x; on peut donc énoncer cette proposition générale :
Théorème. Quand la somme de deux nombre xel y est un nombre a, et leur produit un nombre b , x et y sont les racines de celte équation du deuxième degré ,
