X- — aX -f b

En résolvant cette équation , on trouve

5 e Problème. La somme de deux nombres est a; calculer ces nombres, connaissant d'ailleurs la somme de leurs carrés ou de leurs cubes.

On trouve facilement (x -f - yY = «S ou a* = x- + y 1 -f- 2xy —

b -f- Ixy ; d’où xy = — . On connaît x -{- y et xy; on achève

par le k’ problème.

17Ù COtnS I)’ ALGÈBRE.

On trouve facilement :x -J- y f ou a 3 — .r :i 3 x'y -j- 3.ry s -f-

1 / =. b - f- Zxy (a; -f- ÿ) = & + 3cwy ; par suite xy = - — — . On

OU

connaît x-\-y et xy '^"problème).

6 e Problème. Calculer la profondeur d'Un puits, s ne liant qu'il s’est écoulé un nombre t de secondes entre l'instant où on a laissé tomber une pierre , et celai où le bruit qu'elle a fait en louchant le fond a frappé l’oreille.

Il faut avoir égard à ces deux principes de physique :

1° L’espace parcouru par un corps pesant varie comme le carre du temps écoulé depuis le commencement de la chute ; il est représenté par la formule

2° Le son se meut d’un mouvement uniforme et parcourt 333 mètres par seconde. En général , si on représente sa vitesse par t-, l’espace parcouru dans le temps t est v . t.

Soit .r la profondeur du puits évaluée en mètres, \t,, le nombre de secondes que la pierre met ù descendre , on a

d’où

le radical ayant

nécessairement le signe

Si t, désigne le temps que met le son à nous venir du fond du puits , ou a

x — et, ; d’où t „ =

Mais le nombre donné t secondes est précisément égal ît t,-\-t,; on a donc l’équation

Pour résoudre cette équation , on isole le radical en écrivant

puis, on se débarrasse de ce radical en élevant les deux membres de l’équation au carré ; on trouve ainsi

, x* 2 te __ 2.r

Ordonnant les deux membres par rapport à x ,

Les deux racines sont réelles; car [ - 4- - I .

Elles sont positives; car leur produit /V est positif, aussi bien

que leur somme

Le problème ne peut cependant avoir deux solutions; car deux puits de profondeurs différentes ne peuvent correspondre au même temps, kt secondes Pour expliquer cette singularité, et connaître en même temps celle des valeurs de x qui convient k la question , nous observerons que l’équation réelle dit problème est l’équation (1) , laquelle n’admet évidemment qu’une solution.

A. cause du radical , nous avons élevé au carré les deux membres de cette équation (1). Or, si on élève au carré les deux membres

de cette autre équation t — - = — \ / — (2) , on obtient

exactement le même résultat; cependant les deux équations (1) et (2) , qui équivalent à celles-ci.

COURS D'ALGÈBRE

ne sont pas satisfaites pai la même valeur de a?; la valeur de x pour la première est moindre que vt, pour la seconde, plus grande que vt. Les deux racines de l'équation du 2' degré sont évidemment les valeuiï tjea; satisfaisant à ces deux équations (1) et (2). La valeur * * jle x cie notre f^iation est la plus petite de ces deux racines ; la ^kdondeur cherchée ,

ï-Vii

Voici quelques exemples d’équations simultanées à plusieurs inconnues, se résolvant par des équations du 2' degré à une inconnue.

7 e Problème. Un capitaliste veut placer, à des taux différents, une somme de 80000 fr. et une somme de 50000 fr. .S’il les place à intérêts simples, il en retirera 12000 fr. au bout de deux ans j mais s’il les place à intérêts composés, il en retirera 280 fr. de plus. On demande à quel taux les deux sommes doivent être placées.

ait

Soient x et y ces deux taux. Employant la formule 1 = — ,

on trouve l’intérêt de 80000 fr., au taux x, pour 2 ans, égal à 80000 X x X 2 : 100 = 1600 x.

De même l’intérêt de 50000 fr. au taux ij pour 2 ans égale 500 X y X 2 = 1000 y.

On a donc pour première équation

OU 8a*-f-5ÿ = 60. (1)

En second lieu , 80000 fr. placés à intérêts composés, à a;p. ü/p

ÉQUATIONS DU 2 e DEGRÉ. PROBLÈMES. 177

De même un capital de 50000 fr., au taux y , prend une valeur

de 50000

Mais la somme de ces nouvelles valeurs des capitaux proposés doit être égale à la somme des valeurs primitives, plus 12000 fr.‘, plus 280 fr., ce qui fait en tout 142280; on a donc pour seconde équation

Ou , en effectuant , chassant les dénominateurs et réduisant 8 æ s + 5ÿ* + 1600a; -f 1000// = 12280. (2)

De l’équation (1) on déduit ;

60 — sa-

Substituant cette valeur dans (2) , on trouve , toute réduction faite,

Résolvant cette équation , on trouve :

x — 5, eta; = 4-j .

Les valeurs mises pour a; dans l’équation 3 donnent:

20 4 • V = T = 4 ; et </ = 4 4- — .

On a donc deux solutions

8 e Problème. Trouver les deux côtés de l'angle droit d'un triangle rectangle dont l'hypoténuse égale 13 mètres et la surface 30 mètres carrés.

COURS U ALGÈBRE

Soient a; et y les deux côtés demandés, on a les équations x i -\-y i — 169,

^ xy = 30 , ou xy — 60.

Ajoutant membre à membre la première équation et le double de la seconde , on trouve :

D’où x + y — 17.

Si on retranche ‘2xy = 120 de a: 2 + y- ~ 169 , on trouve (x — ,y) ! = 49 ; d’où x — y — 7.

On peut se dispenser de mettre le double signe devant la racine

carrée de 289, ou de 49, sachant que la somme des deux côtés doit

être positive , et x — y aussi, si x désigne le plus grand côté. On

a ensuite x = — - — - = 12; y — — - — = 5.

9 e Problème. Trouver les trois dimensions d’un paraltèlipipède rectangle , sachant que sa diagonale est 7 mètres , que la surface de sa base est 12 mètres carrés, et que la somme de ses douze arêtes est ht* mètres.

Soient x et y les deux côtés adjacents de la base, s la hauteur du parallélipipède.

xy e= 1 2.