TO
Discussion. Pour plus de commodité, nous distinguerons ainsi les racines des équations (2) et (3) , qui sont les racines de l’équation (1) :
ri „ d
m étant une quantité essentiellement positive , i» les deux racines x' et x" seront toutes deux positives quand on aura m < 1.
2° *' sera positive, et x" négative, quand on aurarn > 1 ;
3° Enfin, x" prendra la forme- quand on aura m= 1.
1 " Cas. m ou - < 1 , c’est-à-dire b < a, ou a > b. Cela signifie qu’à l’unité a
de distance, et par suite à une même distance quelconque , la lumière A éclaire plus que la lumière B.
D’après cela , aucun point également éclairé ne peut être situé à gauche d A sur X'A ; car ce point serait plus éloigné de B que de A , ce qui est contradictoire avec ce que nous venons de dire. Mais dans notre hypothèse nous trouvons les racines x' et x" positives ; donc les distances comptées à partir de A sur X'AX doivent être portées à droite.
Maintenant de m < 1 résulte 1 + m < 2 ;
donc la racine x'
fournit un point C situé entre A et B, plus loin de A que de B ; ce résultat s’accorde avec ce que nous avons dit sur les intensités comparées.
De m < 1 résulte encore 1 — m positif et < 1 ; > d. La racine x"
1 — tu
donne un second point répondant à la question, situé au delà de B, sur BX. On se rend compte de ce fait en observant que, à partir d’un point déterminé, par exemple, d’une unité de distance au delà de B, l’intensité de B, d’abord trèsgrande aux environs du point B, décroît beaucoup plus rapidement que l’intensité de A à partir du point déterminé.
2* cas. m ou - >1 , c’est-à-dire b >a. Cela signifie qu’à l’unité de distance,
COURS d’algèbre.
et par suite à une même distance quelconque, l’intensité de la lumière b est plus grande que celle de la lumière A. C’est absolument le contraire de ce qui arrive dans le cas précédent.
11 en résulte immédiatement qu’il ne peut y avoir de point également éclairé à droite de B, et que. s’il existe un point également éclairé entre A et B, il doit être plus loin de B que de A. Les résultats fournis par l’algèbre s’accor-
dent avec ces conclusions : de m > 1 , résulte 1 + m > 2 ,
la ra-
cine x', toujours positive, donne un point également éclairé situé entre A et B, plus près de A que de B.
De m > 1 résulte 1 — m négatif. La racine x" négative fournit un point également éclairé situé à gauche de A sur AX'. On explique ce fait comme on a expliqué la deuxième solution du cas précédent, dans l’hypothèse contraire.
3* cas. mou - = 1 , c’est-à-dire a=b; à l’unité de distance, et par suite , à a
une même distance quelconque, les deux lumières éclairent également. 11 résulte de là qu’il ne peut pas y avoir de point également éclairé inégalement distant des deux lumières; il n’y en aura pas à gauche de A, ni à droite de B; il y en a un entre A et B , qu’on aperçoit d priori , c’est le milieu de AB. Or, dans le cas
actuel ,
c’est-à-dire que x' fait connaître la seule solution
du problème , et x" n’en donne aucune.
En ne faisant pas de suite m — 1 , ou b=a, mais en donnant à b des valeurs tendant indéfiniment vers la valeur a, et considérant les cas particuliers correspondant à ces hypothèses, on trouve pour deuxième solution à droite de B, ou à gauche de A, un point qui s’éloigne indéfiniment, jusqu’à ce qu’il s’éloigne tant, qu’on ne peut plus le marquer, qu’il n’existe plus. Voilà donc un nouvel exemple des ressources qu’offre l’algèbre pour traduire dans le calcul tous les faits relatifs aux grandeurs.
Remarque. L’équation (2) pouvant sécrire ainsi : d — x : *=b : o, ou bien BC : AC — b : o , on voit qu’on trouverait la première solution en partageant la ligne AO en parties proportionnelles aux nombres donnes a et b. La seconde égalité (3) peut s’écrire d— x: — . r= b: a, ou x—d:x—b:a, ou bien, en traduisant sur la figure, BC':AC'=l>:a; de sorte que le problème proposé , considéré dans toute son étendue, peut se traduire ainsi géométriquement :
Trouver sur une ligne indéfinie X'AlîX un point tel, que ses distances respectives à deux points donnés A et B soient dans le même rapport que deux nombres donnés a et b.
Discussion des valeurs du trinôme ax s -| bx -f c.
181 . Nous avons cherché les valeurs dex annulant le trinôme ax> + bx+c; il est souvent utile d’étudier la marche des valeurs que prend ce trinôme quand le nombre x , seul variable , prend toutes les valeurs positives ou négatives possibles; c’est ce que nous allons faire.
DISCUSSION DES VALEURS DE CIX 1 + bx-\- C. 185
Pour plus de commodité, nous commencerons par résoudre l'équation ax* + àx + e = 0 , afin de transformer, s’il est possible, le trinôme en un produit de deux facteurs réels du premier degré. Quand on résout l'équation, il peut se présenter trois cas : les racines peuvent être réelles et inégales , réelles et égales , ou imaginaires.
1*' cas. Soient x' et x" les racines réelles et inégales de ax'+bx + c=0, et soit x' < x".
On sait qu’alors axt+ber 4-c = a(a: — x!) ( x — x 11 nous suffira d’étudier les valeurs que prend le produit (x — x 7 ) (x — x") ; nous en conclurons aisément ce qui arrive pour le trinôme proposé.
Nous considérerons les valeurs de x dans l’ordre croissant :
1° De — ® à x 7 ; 3° de x 7 à x" ; 3° de x" à 4- ® .
1” période. Tous les nombres de cette période sont moindres quex 7 ; si on pîend x égal à l'un quelconque d'entre eux , les différences x — x 7 , x — x 77 seront négatives (22), leur produit (x — x 7 ) (x — x 77 ), positif, et le produit o (x—x 7 ) (x — x 77 ) , de même signe que a (*); voilà ce qui arrivera constamment quant au signe durant cette période. Considérons maintijpant les valeurs absolues ; dire que x est moindre que x 7 , c’est dire que x 7 — x = a nombre positif, ouï® — a + x 7 . De même x" — x = (3 nombre positif , oux= — p + x". Lorsque x, variant de — ce à x 7 , s’approche continuellement de x 7 dans la suite des nombres, la difl'érenec i=i 7 — x diminue continuellement depuis une valeur Infiniment grande jusqu’à zéro; il en est de même de J3=x" — x, puisque x s’approche de x" en même temps que de x 7 (p diminue depuis une. valeur infiniment grande jusqu’à la. valeur x" — x 7 ). Chacun des produits (x — x 7 ) (x — x"), a(x — x 7 ) (x — x 77 ) , diminue depuis une valeur infiniment grande jusqu’à la valeur zéro , qu’il prend , quand pour x=x 7 , un de ses facteurs s’annule (").
2* période , de x 7 à x". Chaque nombre de celte période étant plus grand que x 7 et moindre que x", pour toutes les valeurs de x de cette période, le facteur x — x 7 est positif, x — x 77 est négatif, le produit (x — x 7 ) (x — x") négatif, et la valeur du trinôme, a(x — x 7 ) (x — x"), de signe contraire à a.
Quant aux valeurs absolues, en posant x — x 7 =n nombre positif, x"— x=p nombre positif, nous voyons que lorsqu'on s’avance de x 7 vers x", a croît de 0 à x" — x 7 , et ]î décroit dex 77 — x 7 à 0. On ne voit pas de suite ce qui arrive pour le produit xji ; on remarque que la somme a-f 3=x — x 7 -f-x" — x=x" — x 7 est invariable, quel que soit x de x—x’ à x — x" -, en posant x" — x 7 =2 s, nous pourrons écrire a= s — d , $—s-\-d; d sera la seule quantité variable dans a et JS, et nous aurons aj^s 1 — d*(*). Il résulte de là que le produits^
(') C’est-à-dire de même signe que le premier terme du trinôme ox»-f 6x+c. (**) Ces termes ou symboles, ®, l’infini, nombre infiniment grand , signifient un nombre plus grand que tout nombre assignable.
(*) L’égalité a{l = s 2 — d* donne j*=ap-(-d a , laquelle prouve que si le produit «3 est constant, la somme *=b-)- 3 est la plus petite possible quand
d = - (* — p) = 0 , c’est-à-dire quand a~ (i.
COURS D’ALGÈBRE
est le plus arand possible quand d=0, c'est-à-dire quand p=s; lors dune que, x prenant différentes valeurs de x' à %", x — x' ou a varie de 0 à s, le produit ap ou ( x — x 1 ) [x" — x) augmente et atteint son maximum
quand x — x' — s =
c’est - à - dire , quand
x— — - — — — — . Lorsque x varie ensuite de — - — à x", a varie de s
à 2s=x" — x', et le produit diminue de s* à 0. On volt ce qui arrive pour le trinôme proposé a[x — x*) (x — x").
3* période , de x=x" àï = +». Tous les nombres de cette période étant plus grands que x' et x", les facteurs x — x', x' —x" restent constamment positifs; par suite, le produit {x — x’) ( x — x") reste positif, et le trinôme proposé de même signe que a.
Quant aux valeurs absolues , si nous posons x — x'=a nombre positif, x — x"=$ nombre positif, on voit que a, p croissent indéfiniment et arrivent à dépasser toute limite; il en est donc de même du produit (x — x') (x — x"), et par suite du trinyme égal à o(x— x') {x —x").
2* cas. Les racines de l’équation ax , -{-bx + c= 0 sont réelles et égales; alors ax s -f- bx + c=o(x— x 1 )!.
x — x' est négatif, quand on considère les valeurs de x qui précèdent x', et positif, quand on considère celles qui suivent; mais dans ces deux périodes (x—x’)* est constamment positif, et a(x—x')' de même signe que a.
Quant aux valeurs absolues , elles décroissent depuis un nombre infiniment grand jusqu’à 0 durant la 1” période indiquée, et croissent dans la 2* de 0 à un nombre infiniment grand. Dans la 2* période on obtient les mêmes valeurs que dans la 1”, mais dans un ordre inverse.
3* cas. Les racines de l’équation ax*-f- bx-j-c=0 sont imaginaires.
Écrivons ax* -f bx -f e = a fx* + -x+-^ = a (x s -f px+ q), si on pose v a aj
b c br c
- = p , - —q. Dans notre hvpotlièse— ou — — q est négatif.
a a la* a 1
Le trinôme x ! -f p.r + q
Jt
La 1" partie I x +
— , variable avec x, reste toujours positive, et a pour plus 2 a /
petite valeur 0, quand x = — — ; la partie constante - — — est positive par
hypothèse; il résulte de là que le trinôme (1) en question reste constam- .
ment positif, quand x varie de — oc à — — , puis de — — à +• « ; le trinôme
ox* + bx+ c conserve toujours le signe de a, c'est-à-dire , le signe de son pre- , b c
mier terme. Durant la 1” période, la valeur absolue du trinôme *’ -f -x + -
