PROBLÈMES DU 2' DEGRÉ. DISCUSSION

varie depuis une valeur infiniment grande jusqu’à - — pour i= — — , et

durant la 2* période , de cette dernière valeur à une valeur infiniment grande. Les valeurs de la 2' période sont les mêmes que celles de la r*, obtenues dans un ordre inverse. La même chose a lieu pour le trinôme ax* + bx + c , quant aux valeurs absolues , sauf la multiplication par a.

Le mode de discussion qui précède s'applique à toute quantité à une seule variable susceptible d’être ainsi décomposée en facteurs du 1" degré relativement à cette variable.

182 . 8* problème. Déterminer les côtés d'un triangle rectangle connaissant son périmètre 2p et sa surface m’.

Si nous désignons par x et y les côtés de l’angle droit, par s l'hypoténuse, nous avons immédiatement les équations

*+î/ + £ = 2î> (1), xy — 2m- (2), et x* + y* — i* (3).

L'équation (1) donne x + y = 2p — puis x' + y 8 + 2xy = 4p’ — 4 ps + î« ; cette dernière équation en vertu de (2) et de (31 équivaut à celle-ci : + 4m’ =

4p* — 4 pi + x*, ou 4p* — \ps = 4m’, ou encore p* — pt—m de celle-ci on déduit immédiatement :

Si nous mettons cette valeur de s dans l’équation (I) ainsi écrite : £+!/= 2p — t , nous aurons pour trouver x et y les deux équations

* + y = — - — . xy - 2ms,

Loû il résulte, d’après le 4 e problème précédemment traité, que x al y sont deux racines de l’équation suivante :

X *Pi±^X+2«’=0.

Par conséquent, toutes réductions faites, on a :

p’ + m’ — l/p 1 + m 1 - Gp’m 2

Discussion. La valeur de s est toujours réelle; mais, d’après la nature du problème, elle doit être essentiellement positive; il ne peut donc y avoir de solution qu’au tant qu’on donnera p’ > m* (égalité (4)).

Quand les valeurs de a; et de y seront réelles , elles seront nécessairement positives, car le terme connu 2m’ de l’équation (5) est positif, et le coefficient de x est négatif. D’ailleurs ni x ni y ne sera nul quand 2m* ne le sera pas ;

COURS d’algèbre

cette condition essentielle que x et y aient des valeurs positives étant remplie quand x et y ont des valeurs réelles, ne nous occupons que des valeurs que doivent avoir les quantités p et m 3 pour que les racines * et y soient réelles, m* n’étant pas nul (on ne peut donner m s =0). Pour que a: et y soient réels , il faut et il suffit que l’on ait + — 6p , m*>0 ou égal à 0. Nous pouvons

regarder p* + m l — Bp’m 3 comme un trinôme du deuxième degré par rapport à p s , et le décomposer en deux facteurs du premier degré , comme nous l’avons montré (n® 82). L’équation p* m^—Gp'm*— 0 conduit à écrire p* + m l — (ip’m* — [ p a m s ( 3 + 2 y 2) ] fp« m* (3 — 2 V 2) ].

Nous sommes dans le premier cas de la discussion précédente ; les racines de l’équation du deuxième degré en p* sont réelles et inégales. Le trinôme sera positif si on reste en dci;à des deux racines x' et x", ou si on va au delà des

deux, c’est-à-dire, si on prend p 5 < m s (3 — 2I/2) , ou p* >m , (3-t-2V // 2)î

m s (.3 — 2 V'IÎ) est une quantité moindre que m 3 ; on ne peut remplir la condition nécessaire , p ! > m* déjà inscrite plus haut , en même temps que

celle-ci : p 3 <m 3 ( 3 — 2 l/i) ; il faut donc rejeter les cas où l’on aurait p 3 < m 3 (3— 2I/2) • Pour que le problème soit possible, il faut et il suffit que

p 3 ne soit pas moindre que m 3 (3 + 2 1/5) ; cette condition vérifiée, onatoujours p 3 >m 3 . Ainsi la plus petite valeur que puisse avoir p 3 pour que le problème soit possible, c’est p 3 = m 3 ( 3 + 2I/2) ; alors le radical est nul, a; et y sont égaux ; le triangle dont on s’occupe est isocèle.

Nous avons cru utile de donner cet exemple de discussion des problèmes géométriques conduisant à des équatious du deuxième degré.

PROBLÈMES RELATIFS AUX MAXIMUM ET MINIMUM RÉSOLUS PAR LES ÉQUATIONS DU DEUXIÈME DEGRÉ.

185. Dans la discussion des valeurs du trinôme ax î + bx-\-c, on a pu voir (1 er cas) que les valeurs négatives du produit ( x — x') x {x 1 ' — x) ne pouvaient dépasser en valeur absolue une certaine limite; on a pu voir aussi (3 e cas) que les valeurs du trinôme ,

x* 4- - x -1 — , 11 e pouvaient descendre au-dessous de — .

a 1 a a lia

Dans le dernier problème , on a vu de même que p 1 ne pouvait être inférieur à »i J (3 -|- 21/2); ces limites supérieures et inférieures de quantités variant dans des conditions déterminées sont ce qu’on appelle des valeurs maximum et minimum desdites quantités variables On peut, à l’aide des équations du deuxième degré , résoudre un certain nombre de questions relatives à ces valeurs maximum et minimum.

184. Problème. Trouver le maximum du produit xy de deux nombres liés entre eux par la relation x-f- y= a (1) ; autrement dit : partager une somme donnée a en deux parties dont le produit soit le plus grand possible.

Supposons que le produit xy soit égal à un nombre donné p , et proposons-nous de trouver deux nombres x et y , tels que x + y = a , xy = p. C’est le 4' problème du n° 179 ; on a trouvé facilement : •

Ces formules montrent immédiatement que l’on trouvera des

valeurs réelles de x et de y tant que le produit p sera plus petit

que — , et encore lorsqu’on aura p = — ; mais on n’en trou-

vera plus quand p sera plus grand que — . On conclut de là

que la plus grande valeur du produit p de deux nombres dont la somme est constante, est le carré de la moitié de cette somme.

Quand p a sa valeur maximum , — , x — y ■= - , et réciproquement. De ! à ce théorème :

Pour partager un nombre donné en deux parties dont le produit soit le plus grand possible , il suffit de le diviser en deux parties égales.

Supposons maintenant que dans les formules ci-dessus ce soit p qui soit fixe et a variable. Peut-on regarder un nombre a quelconque comme la somme de deux nombres x et y dont le produit serait un nombre donné p?

Le nombre a étant supposé connu aussi bien que p , on résout la question comme précédemment, et on arrive aux formules (a) ; celles-ci nous apprennent qu’on aura des valeurs

réelles de x et de y tant que — surpassera p , et encore lorsque

— sera égal à p, mais qu’on n’en aura plus si on se donne une

somme a telle que - soit inférieur à p. Ainsi la plus petite va-

COURS D’ALGÈBRE

leur de — , le minimum de — = p ; le minimum de a 1 — hp , et

celui de a — \/l\p = 2j//> ; quand a a cette valeur minimum x = y = | = \/p. De là ce théorème :

Pour décomposer un produit donné en deux facteurs dont la somme soit la plus petite possible , il su/fit de le décomposer en deux facteurs égaux , d’en extraire la racine carrée.

On voit déjà dans cette première question comment la résolution d’une équation du deuxième degré peut faire connaître le maximum ou le minimum d’une quantité qui varie dans des conditions déterminées.

Trouver le maximum ou le minimum de 5 a;’ — 33 a: — 8.

On écrit 5a:’— 33a;— 8 — y , et on résout cette équation comme si y était donné.

ou x —

33 rfc 1089 — 160 — 20// 33 ± 1 / 929— 20y

Comme on ne donne à x que des valeurs réelles dans 5a;’ — 33a: — 8, y doit être tel, que la précédente valeur de x soit réelle ; ce qui exige que 929 — 20y ne soit pas négatif ; par conséquent, qne 20ÿ ne surpasse pas 929; 20ÿ peut être tout au plus égal à 929 ; donc la plus grande valeur que puisse avoir y, c’est

— : c’est là le maximum cherché.

Sx'— 23x+7 Trouver le maximum de — — — •

On pose — = y , et on résout , y étant supposé

connu ; on a l’équation (8 — hy)x' — 23a; — 7 = 0; d’où

23±:l / 23’-f-28 X (8 — hy) 23±\/ 753 — 112y 16 — Sy ~ 16 — Sy

Pour que x soit réel, 112i/ doit être au plus égal à 753 , et y au

plus égal à ; c’est le maximum demandé.

En général , on désigne par une lettre la valeur de l’expression dont il faut trouver le maximum ou le minimum ; on écrit que l’expression a cette valeur, et on cherche à déterminerla variable, x, considérée comme inconnue. Quand on doit , pour cela , résoudre une équation du second degré , on exprime que la quantité sous le radical ne peut être négative ; de là des inégalités s’arrêtant , à la limite, à une égalité qui détermine le maximum ou le minimum.

Nous allons appliquer cette règle générale à quelques questions usuelles.

185. Problème. Trouver le maximum du produit xy de deux nombres liés entre eux par la relation, a : h = x h —y ; a et h étant des quantités données. (Rectangle maximum inscrit dans un triangle. )

L’équation précédente donne :

Xsss a(h-y)

et par suite xy =

«(ft — y)y

Le facteur - ne variant pas avec y , le maximum de notre produit correspondra au maximum du produit plus simple (h — y)y. Mais les deux facteurs de ce produit donnent une somme constante, h, quel que soit y ; nous rentrons dans la question précédente : le produit (A — y)y sera maximum pour h — y — y, ou

iy = ^ ; la valeur de y étant connue, on en déduit celle de xy , d’après l’égalité (1).

Problème. Trouver le maximum du produit xy quand x et y sont liés par la relation x" -f- y'= r’; r est une quantité donnée. (Rectangle maximum inscrit dans un cercle donné, ou surface convexe maximum du cylindre inscrit dans une sphère.)

Le produit xy aura son maximum en même temps que son carré (*) ; or x 3 et >f sont deux nombres dont la somme est con-

(') Quand on veut se débarrasser d’un radical carré dans la recherche des maximums et minimums , il est souvent très-commode d’élever au carré les quantités considérées , par application de cette proposition évidente : Les valeurs absolues d’une quantité et de son carré atteignent en même temps leurs maximum ou 2eurt minimum.

COURS l>’AI.GÈURE.

stante et égale à r‘ ; le produit x'y' sera le plus grand possible

quand on aura x =y‘ — - r .

La question se trouve ainsi résolue. On connaît le maximum du

produit xy = - r\ et les valeurs correspondantes de a: et y.