Problème. Trouver le maximum du produit x’y, x et y

étant liés par la relation x : y = r : \/ y (y — 2r) , r étant une quantité donnée.

(Cône minimum circonscrit à une sphère donnée.)

Ayant élevé les membres de l’égalité au carré, on en déduit :

Î/Cy— 2 r)’

et par suite , x'y =

Il faut déterminer y de telle sorte que la quantité

soit

la plus grande possible. On pose

y — 2r = m ; puis, regardant ni

comme donné , on cherche à trouver y. Pour cela , il faut résoudre l’équation r’y’ — my + 2rm = 0, laquelle conduit au ré-

sultat y

D’après ces formules, on voit que y sera réel tant que m surpassera 8r 9 , et encore, lorsque l’on aura m = 8r 3 ; m = 8r’ est la

valeur minimum cherchée. Quant m a cette valeur, y = — =

= Ur.

187- Problème. Trouver le maximum des valeurs positives de la quantité 2xy -px*, x et y étant liés par la relation x*+y*=r> (maximum de la surface totale d’un cylindre inscrit dans une sphère donnée).

On pose 2xy + x*— m, ei on y joint x* + y' — r 1 .

La première égalité donne y =

■ix

; cette valeur étant portée dans la se-

conde, on obtient .t* +

jn — i ! ) i ix*

Remarquant que x n'entre qu’au carré

dans cette équation , on pose **=*; ce qui donne x + '—^-— — r*, d'où 4**4-

m’— 2mx+i , =4r*s,oubien 5ï*~ 2,n» + 2r*)ï + m*r=0. Cette équation résolue donne •

La valeur de x=x* doit être positive et réelle; on voit que si on ne prend que des valeurs positives de m comme on l’a demandé, x sera positif dès qu’il sera réel. Examinons donc quelles sont les valeurs de m qui correspondent à deB valeurs réelles de s; pour cela, égalons à 0 le trinôme sous le radical, afin de le décomposer en facteurs simples du premier degré, en m, posons —m’ + rSffi-f r*= 0 , ou m’ — r%i — r*=0. Celte dernière équation a pour racines m'= t/2r*;i + U' / 6), — m"= 1/2 r 5 : 1 — 1/ 5), m" étant égalé l/2r , ([/ x 5—1). On sait que m* — r’m — r i = (m — m') (m Par suite, m 1 4- r*m + r* = .

(m'— wi) (m m") ; nous pouvons donc écrire :

On voit de suite que les valeurs réelles de x correspondant seulement aux valeurs positives de m plus petites que m\ et à m — m' ; quand m est plus grand que m', x n’est pas réel. On conclut de là que le maximum de l’expression

m=2xy+i\ quand a^+t/^r'est m'=l/2r*(l + l/ 2 ). L’expression a cette

valeur maximum quand ï ou r’ =

; pour m = m', le

radical de la valeur de x est annulé (”).

(*) On voit assez ce qu’il y a à faire dans les différents cas qui se présentent lors de la résolution des équations du 2* degré, dont les termes renferment la quantité m. La quantité renfermant m sous le radical est, au plus, du 2* degré en m; c’est, en général, un binôme ou un trinôme en m-, quand c’est un binôme, la question s’achève facilement; on a l’un des cas indiqués dans les problèmes précédents, ( 1 9 1 et 1 92, 2* problème) ; quand c’est un trinôme, on le décompose en facteurs en s’y prenant comme nous venons de le faire. L’équation en m qui se présente alors peut avoir ses racines réelles et inégales, réelles et égales, imaginaires.

Dans le premier cas, le trinôme sous le radical, que nous désignerons par Am* + Bn* + C , peut se mettre sous la forme A(m — m') (m — m’’) ; dans le second, sous la forme A [m — m')*; dans le troisième, sous celle-ci :

2aJ ^

étant positif.

Pour le premier cas , A , m' et m" étant des valeurs connues on voit fari-

COURS D’ ALGÈBRE

Problème à résoudre. De tous les triangles rectangles de même périmètre guel est celui gui a la plus petite surface?

188. Voici des propositions très-utiles dans les applications, et qui se rattachent à la première question traitée n° 184 , dont elles sont des conséquences.

Théorème. Pour partager un nombre donné a en n parités telles, que leur produit soit un maximum (n étant quelconque) , il suffit de diviser ce nombre a en n parties égales.

Supposons , pour fixer les idées, n — 4. Par exemple , on demande le maximum du produit xyst, quand x+y + x + t=ca. '

D’abord un pareil produit doit avoir un maximum , car il ne peut évidemment surpasser aXaXaX« = a*. Nous allons prouver qu’on peut arriver à augmenter ce produit tant que ses quatre facteurs ne sont pas égaux entre eux. Soit x’ + y 1 + x' + t' = a , et P > y'; on peut trouver un produit plus grand quel' y' x' I', et remplissant la condition x + y + x + I=a ; il su dit pour t? -p y’ ** + y'

cela de remplacer ** et y* par — j- 2 - et —

D’abord le produit [ — ~~ J f — ^- 2 - I x’ t' remplit la condition proposée ; car les facteurs ont pour somme x! + y' -|- x’ 4- f = a. Maintenant

( sé f x' + t/'\

— — — J X ( ■ ■ ■ J est plus grand que x' y' ; car la somme des facteurs

est la même de part et d’autre pour ces produits de deux facteurs , et chacun des facteurs du premier est égal à la moitié de cette somme ( problème du

n° 18*). De l’inégalilé (

d’augmenter, et cela ne pouvant avoiT lieu, tant que les quatre facteurs ne sont pas égaux entre eux, ce produit atteint sa valeur maximum quand x — y = x = t.

189 Le produit x" y m est maximum pour la condition x + y = a quand on

> x’ y' , on déduit celle - ci :

> *' y' x’ t'i le produit xyxt devant cesser

lement qu’elles sont les valeurs de m qui correspondent à une valeur positive du produit A (m - m’) (m— m"). Si A est positif, par exemple, on voit que les valeurs positives du produit correspondent aux valeurs de m plus petites que m' et plus grandes que m", c’est-à-dire que les valeurs de m se partagent en deux séries, l’une allant de m— — oc à m = m', l’autre de m=m" jusqu’à m — - 1 - « ; m’, limite supérieure des valeurs de la première série, est dite une valeur maximum ; m", limite inférieure des valeurs de la seconde série, est une valeur minimum. Si A est négatif, m doit être compris entre m’ et m" ; il ne doit pas descendre au-dessous de m' ni surpasser m"; m' est une valeur minimum et m" une valeur maximum.

Dans le deuxième et le troisième cas, il n’y a ni maximum ni minimum de m.

a x : y — m : n , c’est-à-dire , quand on a partage la somme a en deux parties proportionnelles aux exposants m et n.

Pour le prouver, on observe que le maximum de x m y", et celui du produit y n

mm nn , ont lieu pour les mêmes valeurs de x et de y. Cela posé , on remarque

x m y n x x vu

que, — -=-X- .... 2 X- ....

Dans ce produit, il y a m facteurs du premier degré égaux à — , et dont la

somme égale m fois *-=:*, n facteurs - ayant pour somme n - = y ; de

sorte que la somme des m + n facteurs de ce dernier produit égale x + y = a.

En vertu de la proposition précédente, ce. produit sera maximum quand tous

ses facteurs seront égaux, c’est-à-dire quand on aura — = -, ou x:y=m:n.

ce qui démontre notre proposition. On trouve d’ailleurs facilement x et y, car l'égalité précédente conduit à celle-ci : x + y ou a \ x —m n : n.

190. Application. Trouver le maximum du produit x V x* +y* , quand x* = 2ry — y 1 (1) (r est une quantité donnée). ( Maximum de la surface convexe d’un cône inscrit dans une sphère donnée.)

Le maximum de a; V x* -f y J aura lieu en même temps que celui de son carré x* (x 1 + yj).

L’égalité (1) donne x* + y* = 2ry; par suite x* (x* -f y*) = (2ry — y') •iry = 2ry‘ (2r— y).

2r étant une quantité constante , il faut trouver le maximum du produit y* (2r — y). Remarquant , qu’abstraction faite de l’exposant du premier facteur, la somme y + (2r — y) des deux facteurs est égale à 2r , on conclut , en posant 2r — y = X, ou y -f x — 2r , que notre produit y*x' est dans le cas de .r" y" pour x + y = a. Pour le maximum, on choisira donc y et s tels que

y:x::2:l; d’où y 4- t ou 2r:y ::3:2; ce qui donne y = — , puis x* = — .

191. 2* application. Maximum de l’expression x’y quand on a x* — îry — y* (1). (Cône maximum inscrit dans une sphère donnée.)

A cause de l’équation (t), x*y = (2ry — y*)y = (2r — y)y* , on retrouve l’expression traitée, en dernier lieu; on achève comme précédemment.

3' application. Maximum du produit xy quand xS — 2ry — y*.

(Triangle isocèle maximum inscrit dans un cercle donné.) xij aura son maximum en même temps que x'y*. Mais jîy* = (2ry — y*)y* = (2r — y)y a ; posons 2r — y — i-, y*(2r — y) = y l s , et y + x = 2r. On choisira

donc y et * tels que y : x :: 3 : 1 ; d’où y 4- s ou 2r : y : 3; y= — =— . Ayant y, on a * , puis xy (*).

(*) On peut , à un point de vue plus général , se proposer de trouver le maximum ou le minimum de x”*y" , pour toutes les valeurs entières, positives ou

COURS l/ALGÈBRE.

Appendice aux équations du 2 ' degré et bicarrées.

192 . Transformation d’expressions telles que 1 / a + J/ b en expressions de la forme \/ x + l/y.

Les racines d’une équation bicarrée à coefficients rationnels se présentent

sous la forme 1 / a + 1 /b. Quand \/ b n’est pas un carré parfait, on préfère, pour l’évaluation des racines, les avoir, s’il est possible, exprimées par deux

radicaux séparés, sous cette forme l/i-j-l /ÿ, x et y étant des nombres commensurables (*). Nous allons voir dans quel cas cela est possible, et trouver le mode de transformation.

négatives, des exposants m et «, quand x et y doivent remplir l’une des conditions x + y — a, ou x — y — a ; cela est très-facile quand on s’appuie sur le cas que nous avons traité.

^ J n , dans l’hypothèse x + y — a. ne peut avoir qu’un minimum, lequel correspond au maximum dex’ny*.

imy—n — — quand x + y = a n’a ni maximum ni minimum.

Quand or croit de 0 à a, y décroit de a à 0 , et le quotient considéré augmente en passant par tous les états de grandeur depuis 0 jusqu’à 4- « •

Soit à considérer xmyn quand x — y =a, oui=n-t-y; x augmentant, y augmente ; le produit passe par tous les états de grandeur de O à « ; il n’y a ni maximum ni minimum De même pour x-my- *.

Considérons le quotient i- quand x — y — a.

Supposons m < n, n = m + p.

Un y m y» \ y J \y) \ y) \y / \a y) \yj

On partagera - en parties proportionnelles à m et p; - sera la deuxième partie; on déduira de Ut y, puis x.

— ; y=xx—a, et m >n.

xm yn yn

— = 1 il résulte de ce qui précède que — sera maximum, et, par

yn xm X m '

xm 1

suite, — minimum, quand, ayant divisé - en deux parties proportionnelles ii n et m — n; on prendra la deuxième partie pour valeur de -.

Dans les autres cas non indiqués, il n’y a pas de valeur positive maximum ou minimum ; nous ne nous en occuperons pas.

(*) Cela est plus commode pour le calcul des racines par approximation, lnrsqnelies ne sont pas commensurables.

TRANSFORMATION DE l / a +[/ b.

Posons l // a + V^~jc+ l/ÿ.

Élevons au carré; nous aurons a + \y^b=x + y + 2 l/ïÿ.

Quels que soient x et y , on est sûr d’avance que \/ xij n’est ni zéro ni un nombre commensurable ; car, si l’un de ces deux cas arrivait, le deuxième membre de la deuxième égalité serait commensurable , tandis que le premier

ne l’est pas. De cette deuxième égalité on déduit l/'b=(x+y— a) + 2\/^cÿ. En élevant au carré , nous trouvons :

& — (* + V — <s)*+ \xy + 4 (* — y — a) J/ xy. (3)

Le premier membre de cette égalité étant commensurable , le deuxième doit l’étre ; or il ne peut l’être que si on peut choisir x et y tels que l’on ait x+y — a=0, et par suite , pour que l’égalité (3) soit complètement vérifiée . & = 4*y. Nous pouvons ainsi écrire ces deux égalités :

x + y=a, xy — -.

Nous voyons ainsi que x et y sont les racines de l’équation du deuxième degré

X»-aX+£= o.

Par suite , *=“-* \/^, y = |-

Pour que x et y soient commcn.üirables , il faut et il suffit que a’— b toit ur> earri parfait. Supposons-le et posons a* — 6 = c*.

Par suite

dit.

i/rTi7î=Y/î±î + y/«-=i.

Ex. : transformer ^ 1 + 1^21 en deux radicaux séparés comme il Dans cet exemple, a-7, b = 24, o*-6 = 49-24=2i = e*j doncc=S.

1/7 +»/24 = + = l/e + l / t - 1 + vï

a été

198 0,00 RS n’AOOfeBRE.

Reprenons la formule générale

Nous avons ici o=— - , b= -j — g; par suite a*— b= — — — -f ? = 1 ;

p et g étant rationnels, il suffit dont que q soit un carré parfait pour que chaque racine de l’équation bicarrée soit susceptible d’être exprimée par deux

radicaux séparés, tels que 1/ x, l/y, indiqués plus haut.

193. Mais si on fait le raisonnement et le calcul ci-dessus pour chacune des quatre racines , on arrive pour toutes les quatre à la meme conclusion ; cela tient aux deux élévations au carré qui se font; c’est ce qu’on vérifie en

opérant sur V a . — »/ b , — I /a + Vb, — l/a - f/b , comme on a fait plus haut sur l/a + l/b. Il est facile do voir que les résultats de ces transformations doivent se distinguer par les signes de l/r et de l/y, autrement de

Le calcul étant terminé, si l’on remonté à l'égalité (2), on remarque que x+y étant égal à a , on a l/b identiquement égal à 2l/ïÿ. Le signe de 2l/rÿ doit donc être celui de t/b; mais il/xÿ est le double produit de l/r et l/ÿ de l’égalité (1). Si l/b" ou 2l/cÿ est positif, (/F et l/ÿ doivent être de même signe; si l/b est négatif, et par suite l/ry , l/r et l/ÿ doivent être de signes contraires.

De- plus, d’après l’égalité \/a + ^b=[/7+ 1/ ÿT V/a + Kb est une

somme algébrique de deux termes , l/r et 1//, si oette somme l/a ± J/b est précédée du signe 4- , ces deux termes doivent l’être, ou au moins un d’eux, le

plus grand. Si I/o ±. 1/b est une quantité négative, les radicaux l/r et l/ÿ doivent être tous deux négatifs ; ou bien ifn (l’eux au moins, le plus grand.

Applications :

« = î^; b = ^P— fS, A*— 6=i 19;

TRANSFORMATION DE V a-\-[/b- Les quatre racines sont :

Remarquons, en terminant, qu’en vertu des égalités x + y — a, 4 xy = b, les valeurs trouvées de x et y vérifient identiquement l’équation (2), et par suite l’équation (1); quel que soit a*— b, que ce soit un nombre commensurablc ou incommensurable, on n’en a pas moins :

cours d'algèbre.