PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES LOGARITHMES

Propriétés des logarithmes

213. Propriété FONDAMENTAL!-'.. Le logarithme d'un produit est la somme des logarithmes de ses facteurs.

C’est-à-dire, que si ou multiplie entre eux plusieurs termes de la progression par quotient, d’une part, et si ou additionne de l’autre les termes correspondants de la progression par différence, le produit et la somme sont deux termes correspondants des deux progressions , autrement dit. la somme est le logarithme du produit.

Considérons , par ex. , les termes q 2 . q 3 , q" de la progression par quotient ; leurs logarithmes , c’est-à-dire les termes correspondants de la progression par différence sont respectivement 2 d,

5 d , 8<f ; le produit q x q s x q*+s+» ■ C e produit fait partie de la progression par quotient (212 , 1°) ; il y occupe le rang (2 + 5 + 8) 1 , c’est-à-dire le 16" rang (Remarque 3°). La

somme des logarithmes est 2d + 5d + d = (2 -j-5 + 8) X d: c'est uu terme de la progression par différence (Remarque 2°); elle y occupe le rang (2+5+8)+l, c’est-à-dire le 16" rang (Remarque 3°). La somme et le produit sont deux ternies correspondants des deux progressions; la somme est le logarithme du produit; ce qu’il fallait démontrer.

Remarque. Celte démonstration est générale. Puiqu’on ne prend que des termes correspondants dans les deux progressions, les exposants que l’on additionne pour former l’exposant de q au produit sont égaux, uu à un, aux coefficients que l’on additionne pour former le coefficient de d dans la somme. L’exposant de q dans le produit et le coefficient de d dans la somme ne peuvent * donc manquer d’être égaux; le produit et la somme sont nécessairement deux termes correspondants. Le produit a toujours pour logarit! ie la somme des logarithmes de ses facteurs.

214. 2* Propriété. Le logarithme d’un quotient s'obtient en retranchant le logarithme du diviseur du logarithme du divi-

lend

Soient deux nombres a et b dont le quotient est c. Par définition du quotient , a—b'Kc. D’après le théorème précédent, log a ou

COURS D'ALGÈBRE

log (6xc)=log 6-f-log c > on déduit de là, log c=log a — log b. Ce qui démontre notre proposition.

215. 3" Propriété. Le logarithme d’une puissance d’un nombre est égal au logarithme de ce nombre multiplié par l’exposant de la puissance.

Par ex. : log a s = 5 log a.

En effet, a s =axaxaxaXa; log a*— log a-flog a-j-loga-flog a + log a = 5 log a.

216. 4' Propriété. Le logarithme d’une racine d’un nombre est égal au logarithme de ce nombre divisé par l’indice de la racine.

Par ex. : log 1 Sa —

En effet, par définition (l/'a)* =a ,• par suite log o = log (l^a) 3

= 3 log k a, d’après le théorème précédent. On déduit de là log a

log Va — — .

Ce qu’il fallait démontrer.

217. Ces diverses propriétés des logarithmes donnent le moyen de remplacer une multiplication par une addition , une division par une soustraction ; l’élévation à une puissance par une multiplication, et une extraction de racine quelconque par une simple division.

Considérons , en effet , les deux progressions déjà prises pour exemple :

ÿM: 3:9:27:81:243:729:2187:6561:19683:59049 :l). 2. 4. 6. 8. 10. 12. là. 16. 18. 20

Proposons-nous de trouver le produit des nombres 3 , 9 , 81 , compris dans la progression par quotient. Nous additionnerons log 3=2, log 9=4, log 81=8; la somme 14 de ces logarithmes est le logarithme du produit (213). Or, en cherchant 14 parmi les logarithmes , c’est-à-dire dans la progression par différence , on trouve qu’il correspond à 2187 de la progression par quotient. On en conclut que le produit demandé, 3 x 9x81=2187.

Pour avoir le cube d'un nombre donné, de 27 par ex., nous