PROPRIÉTÉS DES LOGARITHMES VULGAIRES
prenons le log de 27, qui est 6, et nous le multiplions par l’exposant S de la puissance à former. Le résultat de cette multiplication étant 18, nous cherchons 18 parmi les logarithmes, c’est-à-dire, dans la progression par différence, et nous voyons ainsi que 18 correspond au nombre 19683 de la progression par quotient; nous concluons de là que 19683 est le cube cherché de 27.
On applique de même les autres théorèmes.
218. Des tables de logarithmes. Pour tirer parti de ces propriétés des logarithmes , ayant adopté- un système particulier de logarithmes , on a construit ce qu’on appelle des Tables de logarithmes.
Les Tables de logarithmes renferment la série des nombres entiers depuis 1 jusqu’à une limite déterminée; les plus usitées, celles de Gallet, contiennent les nombres entiers de 1 à 1 08000 ; à côté de chaque nombre, et sur la même ligne horizontale que lui, on trouve son logarithme évalué à moins d'une unité du 7 e ordre décimal.
Nous allons faire connaître les principales propriétés du système de logarithmes que l’on a choisi, et apprendre à faire usage des tables de logarithmes. Nous ne nous occuperons pas de la construction des tables; ce problème : trouver, soit exactement, soit à moins d’une unité décimale donnée , le logarithme d’un nombre dans un système donné , ne saurait être résolu d’une manière réellement pratique avec les seules notions d’algèbre et d'arithmétique du cours élémentaire ; cette question se traite dans le cours d’algèbre supérieure.
Le système des logarithmes vulgaires, dits logarithmes de Briggs, est celui dans lequel la base 10 de notre système de numération a pour logarithme 1. C’est pourquoi on appelle aussi 10 la base de ce système de logarithmes , le seul dont nous nous occuperons désormais. Tout ce qui suit se rapporte exclusivement à ce système.
Propriétés des logarithmes vulgaires.
219. I.e logarithme d'une puissance quelconque de 10 est égal à l'exposant même de cette puissance, ou bien, se compose d'autant
218 CODRS d’algèbre.
d’unités qu’il ;/ « de zéros après 1 /faits cette puissance écrite en chiffres.
En cITet, par ex. , lopr 10 4 = h loglt) = lxà = h 215).
Tous les logarithmes qui ne sont pas entiers sont, ainsi que nous l'avons déjà dit, évalués en décimales, à moins d’une unité décimale du 7“ ordre , par défaut ou par excès {*).
'2 if) bis. La partie entière du logarithme d’un nombre s’appelle la caractéristique de ce logarithme.
Ex.: log 1395 == 3,14à5742. La -caractéristique de ce logarithme est 3
Théorème. La caractéristique du logarithme d’un nombre quelconque se compose d’autant d'uni tpi , moins une, qu'il y a de chiffres dans la partie entier p de ce nomhre.
(La partie entière d’un nombre quelconque est le plus graqd nombre entier qu’il contient.)
{*) Il est facile de prouver que dans le système de logarithmes dont lajiasc est 10, les puissant» de cette hase sont tps seuls nombres qui aient des logarithmes lomtnensnrables; les logarithmes de tous les autre» nombres entiers nu fractionnaires sont incommensurables, et ne peuvent etre calculés que par approximation.
En effet , supposons qu’un nombre A ait , dans ce système , un logarithme
rommensuralde, et soit logA = »i et n étant deux nombres entiers. De
cette égalité on déduit
«.logA — m ,
mais n. log A = log A" ; m=log I0 m ; donc
log A»=log 101» ; d’off A» = lfi m .
r A doit être entier; car une puissance, d’un nombre fractionnaire serait un nombre fractionnaire, et non I0 m ; chaque facteur premier de A doit exister dans in n et par suite dans 10, et réciproquement; dope A doit sc composer des fadeurs 2 et 5 , pas d’autres; A = 2 P .W ; alors A" = iP- " &?• " ; mais A” — 10"* = 2 m 5 m ; dune 2P »ô« » = 2 m 5 m . Pour que cette égalité existe, il faut que l’on ait
pn—m, qn—m; d'où pn~qn, ou p = </.
\ = 2P6P = (tXi)P = U)P -, A est une puissance de lu. les logarithme» des nombres consignés dans les tables étant généralement incommensurables , on s’est borné à les calculer à moins d’une unité décimale du septième ordre ; c’est avec cette approximation qu'on les trouve dans les tables de Gallet et dans celles de Lalande.
-PROPRIÉTÉS ms LOGARITHMES VULGAIRES.
Kn effet, supposons que la partie entière d'un nombre, donné N ait 3 chiffres; ex. : 537, 862. Ce nombre N est compris entre 100 et 100(1, son logarithme est compris entre log’lOO et log 1000, c’est-à-dire entre 2 et 3 ; ce logarithme se compose de 2 , et d’une partie décimale ; la caractéristique est 2.
La caractéristique du logarithme d'un nombre se connaît donc à la seule inspection de la partie entière du logarithme de ce nombre; aussi dans les tables de Gallet, par exemple, pour gagner de la place , s’est-on dispensé d’écrire la caractéristique.
1220 THÉORÈME. Connaissant le y.garithme d’un nombre (Ions le système vulgaire, on obtient le logarithme du produit ou du quotient de ce nombre par une puissance de 10, en augmentant ou en diminuant tout simplement la caractéristique du logarithme donné d'autant d’unités qu’il y a de zéros après I dans cette puissance de 10 écrite en chiffres.
log (A X 10") ~ log A -f- log 10” = !og A -j- v. log ( ~ J>0g A - log 10 n = log A — n
ou sut: un ex. :
log (1395x100) = log(1395) -4- log 100 = 3,1445742 + 2 =
log (1395 ; 100) = log 1395 — log 100 = 3,1545762 — 2 =
L’exposant , n , de 10 étant un nombre entier, l’addition ou la soustraction ci dessus ne porte que sur la caractéristique.
Le théorème précédent s’énonce assez souvent, comme il suit, par abréviation.
On multiplie ou on divise un nombre quelconque par une puissance de 10 , en augmentant ou diminuant la caractéristique de son logarithme de l exposant de 10 . ou bien d'autant d’ unités qu'il y a de zéros après 1 dans celte puissance de 10 écrite en chiffres.
Cet énoncé doit être regardé comme équivalent au précédent.
2120 bis. Corollaires. Le logarithme du nombre décimal que l’on obtient en séparant, par une virgule , un nu plusieurs chiffres sur
COURS D’ ALGÈBRE
la droite d’un nombre entier , a la même partie décimale que le logarithme de ce nombre entier.
Ex. : log 36748 = log 367,48 -f 2.
Si deux nombres ne diffèrent que par la place de la virgule décimale , les logarithmes de ces nombres ne diffèrent que par la caractéristique.
log 3674,8 = log 36,748 + 2.
Nous allons maintenant expliquer l’usage des tables. Nous donnerons ensuite quelques applications.
Usage des tables de logarithmes.
221. Les tables de logarithmes les plus commodes et les plus usitées sont les tables de Callet, qui contiennent les logarithmes des nombres entiers de 1 à 108000 calculés avec 7 décimales , à moins d’une unité du 7 0 chiffre décimal , en plus ou en moins.
Nous ne répéterons pas tous les détails que nous avons donnés en arithmétique sur la disposition et l’usage des tables de Gallet. (V. l’Arithmétique, 4' édition, p. 261, n° 360, ou bien l’instruction qui précède les tables elles-mêmes dans l’ouvrage de Callet.)
Après les tables de Callet , les plus usitées sont les tables de Lalande et Marie , renfermant les logarithmes des nombres de 1 à 10000 avec 7 décimales.
Nous allons indiquer la manière de se servir des tables de logarithmes quelconques, en supposant que l’on y trouve tout simplement les logarithmes de 1 à une certaine limite , et les différences entre 2 logarithmes consécutifs quelconques de la table.
En général, les nombres sont disposés par colonnes verticales, en tête de chacune desquelles se trouve la lettre N. Si le nombre entier donné ne surpasse pas le plus grand nombre de la table , on le cherche dans une de ces colonnes intitulées N ; à côté de lui, à droite, on trouve son logarithme.
Dans certaines tables , pour gagner de la place , on s’est dispensé d’écrire les caractéristiques, chacun pouvant facilement suppléer à cette omission à la simple inspection du nombre donné.
