XI
Remplaçant I, t, t, parleurs valeurs données» on trouve :
100 X 68^ -ieo X 684 X 6
3^ Problème. ^ qitei tauai faudrait-il placer ur^ capital de $800 pour en retirer ^90 francs d'intérêts en 2 am ?
^1naonp^e e§t i ,• on a d'ailleurs f( =^800 ; r = 2 et ï=190. De ]a forgHile (1) on déduit ÎOQ.I = qxixt=axtxi» d'oîi ei^ divisant de part et d'autre par a x ^ on conclut :
RÇDjplaç^pt I^ a, /, p^r l^tirç valeurs données , on trouve :
. ^ iop X m
&• PROBtÈME. ^u bn^t df cofjtJiiefi fip Jiçipig^ un capjfal de 3800^'-, place à 5 p. 0/0, aura-t'il rapporté lOOf"*. d'intérêt'?
L'inconnue est r,- on a d'ailleurs a = 3800; t = 5, 1 = 190.
De la formule (1), on déduit 100 x I = « X t X 1^ d'où, en divisant par a x t, on conclut:
a X t Remplaçant I, a, t, par les valeurs ci-dessus, on a ;
I^U^p P-^$COB|PT^ 2&7
Chacune des égalités (1), (2), (3), ^k) e^t \m§ (qriliule pouvant servir spécialement à la résolution immédiate d*uq des U problèmes BFioçlpAUX qu^ pqus Yeqop& ge \\^\\ç,v i o^ai^ ji suffit d'en ^V^^r iine par cœur, les 3 autres s'en 4^4^i^iit trè$- atsémeut ; c'est la fornpuie (1) qu'on apprend de pféfér^nçe, p!|cce que 1^ 1*' problème ^,t celifl qui se pir^e;^t^ le plus ordiinairemen|.
Escompte eon^mercial.
330. On appelle escompte la retenue qui est faite, ^wr le montant d*une créance qui ne doit être payée qu'au bout d'un certain tetjfffl$ , et ffqfi( 0^ v^ Mce pa%i çLvai(it Vèchéa,T(ice,
fc'p§pPiHPte , t^l quQq U fait daq« }q <;omiperc^:, p'est autre chose que l'intérêt de la créance ou du billet escompté , calculé pour le temps qui doit s'écouler jusou'à son échéance. Il n'y a ^ue le mot de changé : on dit escompte, au lieu d'Intérêt ; taux dîespompte, an lieu de taui d? intérêt.
Les questions relatives à rqscqmpte ne diffèrent doi^c auciipement des questions relatives aux intérêts simples. On les résout de la même manière, ou par le raisonnement, ou à l'aide de la
formule I == — j-^ — , dans laquelle i désignerait le taux d'es-
compte , et I l'escompte du billet considéré.
Ex. : Un billet dp 36()0fr-, payaf)le le 2^ jjépembre 1853 , est pré9^p^0 ^ l'e^cpfBB^ }g i? ffla} de 1^ WôJPe année; le taux 4e l'escompte étant k p. O/o , trouver le montant de la retenue y ou escompte.
On calcule d'abord le nomjl)]*.^ ds Jours du 12 mai inclusivement jusqu'au 25 décembre exclusivement,
Dans le commerce ou la banque , on compte le nombre exact des jours, comme nous venons de le faire ; mais, pour simplifier
le caleul , on f«gfli4« le jour comme •-^, et non comme
d'année; ainsi, dans la formule, nous prendrons t =z — ;a=:
3600, i=ik.
2bS GOUBS D'AEITHMÈTIQUE.
D où I = .
On retrovfe dans la question d'escompte les quatre quantités a,if tfl;on peut donc se proposer les U problèmes prindpaiix que nous avoas traités à propos de rintérét ; nous nous bornerons à celui que nous venons de traiter comme le plus usuel (*) .
531. Remarque. La convention qui sert de base au calcul de l'escompte n'est pas équitable ; on retient , en effet, l'intérêt de la somme marquée sur le billet , et on ne paye, néanmoios, qu'une partie de cette somme,
338. U serait pins Juste <iue le banquier retint seulement l'intérêt de la somme qu'U donne an porteur du bfflet , caleolé pour le temps qui doit if écouler Jusqu'à son édiëanoe.
On peut se demander ce qu'il donnerait en agissant ainsi pour le billet qui précède. Soit a cette sonmie ; I son intérêt sur MOO fr., le banquier donne a et
retienti; doue 8600 = a + I; mais d'après la fnmale (1), ! = ■ ■ J^ ; dons
SeOO s^a-^- "^*^^ Multipliant des 2 parts par 100, on trouve 8600 X 100
= 100a-f aXtX< = a(100+«XO- Do cetU dernière égalité, on déduit 8600X100
*"'lOO+tX^*
2X1 En remplaçant t par 4, et ( par —, on. aura la valeur de a dans notre
exemple.
Si on désigne en général par A la valeur éerite sur le biUet, ce qu'on appelle sa valeur nominale , en raisonnant comme précédemment sur 8600, on trouvera évidemment la formule générale :
Cette dernière manière de faire l'escompte est ce qu'on appelait faire l'escompte en dedenu L'escompte du commerce s'appelait escompte en deliort»
(*) Nous reviendrons plus tard sur les questions d'intérêts et d'escompte pour traiter la question des rentes sur l'État, ceUe des bordereaux d'intérêts et d'escompte , etc... exactement comme éUes se traitent du» les mal8on& de eommeiee etdebnique.
FABTAGKS FBOPOBTIONNBtS. 2&9
PARTAGES PR0P0RTI0NMEL8. — RfeGLES K SOCIÉTÉ.
335. DÊFiianoif. On dit que des grandmr* A, B, G, D, sont proportionnelles d des nombres donnés 9 Z, h, 5, 1, par ex* : quand le rapport de deux quelconques de ces grandeurs est égal é celui de$ deux nombres correspondants. Ex. A : B=s S : &; A : G =1 3:5; B:D = 4:7;
Ou , ce qui revient au même ,
Quandonarigalitéderapports;k:Z^h:UssC:5 = D:l{*).
334. l"" Problème. Partager une somme de 1200^- en parties proportionnelles aux nombres S, 7, 8, 12.
Dédgnons par x^ y, x, t les quatre parts cherchées. D*abord »
op + y + « + ^ = 4200.
et d'après renoncé: | « | « | "^7;'
Appliquant le principe du n* 305, nous aurons :
a? + y4 ^4-^ iiOO x y z l 5 + 7 + 8 + 12^" 32 "5~7""8"'12 A ^ 4200 ^ ,^ 1200 X 5
*'5="ir^''*"^*''*— 82~
de? =
enfin de — = -— - t = rr; •
Les trois premières parts trouvées , on pourrait avoir la A*, en retranchant de 1200 la somme des 3 premières; mais U convient mieux de calculer la A* part de la même manière que les autres ; les quatre valeurs ataisi trouvées, leur somme doit reproduire
(*) A : B = s : 4 signifie qu'une commune mesure contenue 3 fois dans A. (le tiers de A), est contenue 5 fois dans B, est la dnquième partie de B; A : 3 = B : & (n* ses.)* Lee deux dëfinitioi^s ei-^essus sont donc équivalentes.
exactement la valeur à partager ; ce qui offre une vérification uUle.
Ed examinant les diverses valeurs ci-dessus de x, y« ::, t^ on peut formuler cttte règle générale :
Pour avoir çh^Ufi papy on t^\tHip.l\fi (q va^ur 4 partager pç^r h nombre auqtiêl ç^tU part éioil (txe proportionnelle ^ pMis on divise h pvoduiê p§r ^a Hi^nn^e 4cf ^oml^es pr(^pçriiof\nels qux parts.
555. Dans les partages proportiq^qels , op fer^ b|en de diyiser par Z^urp^^ 0, û. 4iv, les nqnibre^ ayxquel^ ]^% V¥^\^^ doivent élre KroportiODueUes ; VégaUté des^ r^port^ cî'4f^^ iQdiqués n*est pas troublée , tout |e^ d^^npinln^t^urs de çesf rï^PPOi^s ^^W simoitanémeat dtvi^és BM ^€^ m(^V^ ^pvi^re (3Q».
S'il y a des fractions parmi les nombres auxquels les parties cherchées doivent être proportionnels, on réduit tous ces nombres donnés, entiers ou fractionnaires, qp fr^ptions de mêmes dénominateurs , et on rempli^» les fractions s^insi obteaueft.^i|c lews numérateurs.
Ex. : Partager âfi^^fr-c» parties pnopor^finmillfis am; nq^res
2,3 + l//i, ^ + 2/3, I • On réduit ^u miïï^fi dénominateur, 3Ç \ ce qui donne :
72 117 20fi 1^ 36' 36 ' 36 ' W'
Partager ^00^'- ^ parties proportiopnellesf à ces fractions,
revient à partager ceàe somme en parties pr^pûslionnelles à 72,
117, 204, 32. Les dCiominateurs des apports égaux rr : -rr-etc., '-- — i - «- • 36
étant simultanément multipliés par le dénominateur commun 36,
lesi nowmwk ruppoi^ s»pt éftWI^ i^).
»3& psodi'^Ms. Ji y 9 i(m mu f<^i&^p 40 ^qp*»?f > p^y^ ^
FtffiM ék 3fh4Q l^.joi^^ 7 femV^HifVi^? i^'* gP Pffrjp^n^
72 117 I (•) a : 5 = —: : -— - ; -- d'une certaine mesure commune est contenue 72 fois
dW?l <» tfi4hl^ IV^m M|^4|.o), ft ^nl^jue U7 fQJs 4fM3f j>, |§t la U7*«|rjie de J; #9P # .• ?»5r:: .b ; 1)7 (g? gQg).
êmIavUs , pa^i i^f « lOt. Oft açcarde , p«r eaplr<w4ÎAatrc 5 we ira- Hfication de \2M'i laquelle doit être /»ar4a§|étf pri^porUonnelh" ment aux soiams-j cakukr les part^ indmiM^li^'
MsignoBS |iaf « la part duo homme ; par y» ccUq fl'uf^^ feiQine, et 4 ceUe d'un enfasL D'après l'énoncé 1
12a? + 7v + 5r=iî00,eta?: 3,i!iO== y : 180 = « : l,i4)
pn M lîliange pa» on rapport en mulUpIiai^t çe» 2 termes par up ^nie pombMi 1 de l'égaUté des rapport? précMents r^ult^ (lov
Faisant la somme des numérateurs d'une part, et celle des dénominateurs de l'aulre, on a, d'après le principe du n° 305 :
U?^ + 7y-^5r. 3X(fOXl2f Î,8PX7 + M0>;5 ou 1200 : 58,90 = 12ar : 3,^0 X 42 ;
ou plus simplement : 1200 : 58,90 = 3^ : 3,^0, d'où
1200 X 3,ftq
on a de même : 1200 : 58,90 =s y : 1,80; d^eù la valeur de y ; puis 1200 : 5.8,90 = z : 1,10; d'où z.
Nous donnerons aux exercices d'autres exemples de partages proportionnels. Les problèmes de ce genre composent une classe très-étendue.
Règles d« SôciéH,
397. Y0iel doux piinnipes (ondifmQPtau:!: m i^MmVi S9 fwAe la vésQltttlûn des wftsttons qui portent c^ mm*
fices ou les pertes sont proportionnels aux mises. ,
T Lorsque les miffif sont égaies et les t^jfips égaux 9 les bénéfices ou pertes sont proportionnels aux temps.
Dé ces deux principes d'une justice évidente , on oMielut eopme conséquence ce troisième itr^tcipe }u^ ifi^ppp|a^>
S"* Si les ifiMet ei les temps sorU quelconques ^ les béné fiées soni proportionnels aux produits des mises par les temps, Yoid comment on déduit ce principe des deux autres : Soit une mise m faite pour un temps t, et soit b ie bénéfice correspondant à cette mise ; soit une deuxième mise m* faite pour un temps fy et soit b' le bénéfice correspondant; il s'agit de trouver ie rapport de 6 à b'. Pour cela, prenons pour terme de comparaison auxiliaire une mise fn faite pour le temps f, et soit 6" le bénéfice correspondant En comparant les bénéfices b et 6" des mises m , faites Tune pour le temps t et l'autre pour le temps f, on est conduit, d'après 2% à cette ^alité :
Si on compare les bénéfices b" et V des mises m et m' faites toutes deux pour le même temps t, on est conduit, d'après 1% à cette égalité :
^ = ^ et)
Multiplions terme à terme les égalités (1) et (2), et supprimant le facteur b", commun aux deux termes du premier rapport obtenu, on est conduit à cette égalité :
b m Xt y "" m' X ^'
laquelle démontre le troisième principe.
338. Problème. 3 commerçants associés ont fait un bénéfice de 18000 fr. Le premier a^ait mis dans la société une somme ie 12800 fr., le 2*, 15&00 fr.^ le 3% 21800 fir. On demande la part de chacun.
Les bénéfices devant être proportionnels aux mises, on partagera 18000 en parties proportionnelles aux nombres 12800, 15400, 21800 , ou, ce qui est la même chose, à 128, 15ft, 218, ou encore à 6/i, 77 et 109.
