X : 64=y : 77 = ;r : 109; d'où

jB + y+x ou 18000 : (6&+774-109)=:a? : 6/1,=» : 77=« : 109. On déduit facilement de là les parts jr, y, z.

BÈGLfiS DE SOCIÉTÉ. 25$

3S9. Pboblèiib. Un négociant commence une entreprise enee une somme de 12000 fir. ; 8 mois plus tardf un associé verse dans son entreprise une somme de 18600 fr. ; 1& mois plus tard encore , un nouvel associé ff intéresse pour une somme de 30000 fr. Ventre-^ prisCf après avoir duré en tout 6 ans, a produit un bénéfice de &8^000 fr. Le 1*' associé doit percevoir une prime de 6 pour 100 sur le bénéfice f pour rémunération de la gestion dont tt est resté chargé.

Noas commencerons par prélever les 6 pour 100 qne Ton ajoutera plus tard à la part du l*' associé.

Cette pMme se compose d'autant de fois 6 fr. qu'il y a de fois

&8000 100 dans &8000 ; eUe est égale -jr^ x 6 = MO x 6 = 2880.

La somme à partager est donc réduite à &8000 — 2880=&5120 fr.

La mise du 1**" négociant est restée dans la société 6 ans, ou 72 mois;

Celle du 2* associé y est restée 72"" — 8"" =s 64 mois ;

Celle du 3* associé , 64 mois*— 15* = 49 mois.

Nous ayons vu (3* principe) que les bénéfices devaient être pro* portionnels aux produits respectifs des mises par les temps correspondants. Il nous faut donc partager 45120 en parties proportionnelles aux produits 12000 x 72, 18600 X 64, 30000 x 49 que l'on effectuera. On simpUflera ces termes de comparaison comme il a été dit , et on achèvera en suivant la marche indiquée n® 335. On n'oubliera pas d'ajouter les 2880 fr. à la part du premier négociant

Kk GOtftS t/XRliUllItlQUE.

CHâWRE V!,

' ftï» LObAftltmteS ET bÊ LEfiWS IftXGfi».

^Qiiofi^ préliminaire,

540» PiPMMssiOM vkt birptRBifOt. On uf^tte progrmiùli par IHFftIlEfIGË tme tmite \iè nomhnsi teU qwthêMn nÊrptiBse télui qui le précède immédiatement ùu en est surpassé, d'un nombre tan" stant qu'on wpfielh rai^oA ée îà pmÊifresâwn.

Une prognressioÉ ptriMKreûèe^'écrit ainsi x -f ^i 7i %. 18.. k. et se Ut dé dette mtatèrë i% est à 7 par ^Uffi&eiice^ ert à 9^ eit à iS, tetc.w

Une iHTigreskioo par fllIKreoce est amtsàntè quand ses telmiat Toht es sttÉgmelitàât , Hctûiikmiè ^nd ^eê lendea TMt w ^kÊànilàiit fil. : i«f 5 7. «i 41... ; %*^ %1. M.dl»ete. fitous se «M* tidérêtOds dteB ce qui ra saivfe qu^ des progrertionsTfaissaBtea»

&à raMm d'ma^ progresbioii ^ar ëffiërence s ttrâfesaote^ «'éviilttfti d'après la définitiODy en retranchant un terme quelconque da terme Immédiatement suivant. Dans notre ex. : 7 - 5 = 2 -^ la raison est 2.

341. Théorème. Dans une progression par différence un terme de rang quelconque est égal au 1"' terme y plus autant de fois la raison qu'il y a de termes avant lui.

Il ne s*agit que d'une progression croissante dans laquelle chaque terme^ surpasse le précédent de la raison. Cela posé^ si le 1'' terme est un nombre a et la raison r, il résulte de la défmition que le second terme est a + r ,• le 3* (a -f r) + ^ = « + 2 ^/ le 4* (a + 2 r) + r = a + 3 r, et ainsi de suite; la loi est évidente : chaque terme est égal au premier terme augmenté d'autant de fois la raison qu*il y a de termes amnt lui. Le n'*"*^ terme a pour valeur

Ldb&BlTmlts. 355

a + (n — 1 ) r. Dans l'^xtuqric dté » ie 6* Cermeâs §+7 fois 2 s i 9. Une progression par différence e^t donc généralement composée comme il soit :

«•a. tf-|-r. a + 3r. il-f 3r. a + /^rjctCi

Nous n'en dirons pas dafMitage sur les progressions par différence ; ce qui précède suffisant à ce que nous avons en vue en les mentionnant ici.

342. Progressions t»AR quotient. On appelle progtftséioH par quotient une suite de nombres tels que chacun est égal d celui qui le précède , multiplié parunnominr eohsïànt qu*on appelle raison de la progression*

Une progression par \|tlôtietit s'écrit aiÂsi :

et s'énonce de cette manière : 3 est à 6 par quotient , est à 12, est à 2ft, etc.. La raison d*uhe prognèssion par (Quotient s^olHieàt ekl divisant un terme )[)ar le i[)récédent dans Texémple : là rabdft é^t 2.

343. Théorème. Un terme quelconque d'une prûgrè8}fion par quotient «si égal au premier terme mulHpiié pur Ai raison élevée d une puissance ^arquék par k noMbre des termfBS ^ipr^cédent celui que l'on considère.

En effet 5 soient a le 1'"' terme d'une progression par quotient et q la raison. Il résulte de la définition même que le 2* terme est a X g, le 3' (« K î) X ç = a X q\ le 4" terme (a X 9*) X q = axq^9 etc...^ la loi de formation de ces valeurs est évidente ^ chaque terme est égal au jpremier multiplié par la raison élevée à une puissance dont l'exposant est le nombre des termes qui précèdent celui que Ton considère. j En général , le n^^^^ terme est égal à aq^'-K Une progression par quotient est doûc généraleihent composée comme il suit :

*^ a : X ç : Il X g* : a K <}• : « X j*.....

344. La somme d'un certain nombre de termes d'une progiession par quotient peut s'obtenir immédiatement à l'aide d'une formule très-simple que nous allons indiquer.

Soit en général S = o+ ax « + aX«» 4- ax g* + ... +aX«*-*. W

m COURS D^ABITOIliTIQITE.

MulUplionf les 2 membres de cette égalité par 9 ; il Tient :

Retranchant ces 2 égalités l'one de l'antre, (1) de (2), membre à membre, et les seconds membres terme à terme, on trouve SX 9~-S=saX9"— a, on, ce qui revient an même , S X (4 — i) = a- (4** — 1) ; d'où , en divisant de part et

d*antre par g— 1, on déduira enfin S = -2 = ^^- ^ \

Telle est la formule cherchée.

SI on l'applique à la progression t S : 6 : 14... pour trouver la somme des

10 premiers termes , on trouve :

S = I2<^lzil -: S X (1024-.1) == 307 1 .

545. Logarithmes. ÉtafU données deux frogreeswM dont la termes se correspondent • chacun d chacun , l*une par QUOTlSfiTy commençant par i, Vautre par différence ^ commençant par ù, chaque terme de la progression par différence est appelé le logarithme du terme correspondant de la progression par quotient.

L'^isemble des deux progressions est ce qu'on nomme un sys^ téme de logarithmes. Ex.:

Dans ce système, 6 est le logarithme de 27, \U est le logarithine de 2187.

Nous nous servirons, ordinairement, deFabréylation log.^ pour logarithme; ex. : log 2187, pour logarithme de 2187.

546. Dans les applications, on n'assigne de logarithmes qu'aux nombres plus grands que 1. Les nombres moindres que 1 n'ont pas de logarithmes. Gela revient à supposer la raison de la progression par quotient toujours plus grande que 1 ; c'est ce que Ton fait.

En générai, si on désigne par q la raison de la progression par quotient, et par 4 la raison de la progression par différence , les deux progressions d'un système quelconque de logarithmes seront ainsi composées :

f 0*d.2d.Zd.Ud.M.6d.ld nd...

347. A rinspecUon de ces deux progressions , on peut immédiatement faire les remarques suivantes :

PROPRIÉTÉS DES LOGARITHMES. 25f

i* La progression par quotient continuée indéfiniment ne compone de la série complète des puissances de la raison,

2^ La progression par différence^ continuée indéfiniment, se compose de la série complète des multiples de la raison.

3* V exposant de la raison q, dans un terme de laprogrension par quotient , augmenté de 1, indique le rang de ce terme dans la progression; le multiplicateur ou coefficient de laraison d, dans un terme de la progression par différence , augmenté de 1 , indique le rang de ce terme dans la progression.

Il résulte de là que si deux termes se correspondent dans les deux progressions , V exposant de ia raison dans le terme de la progression par quotient est précisément égal au multiplicateur ou coeffi^ eient de la raison dans le terme de la progression par différence. La réciproque est vraie. Si un exposant de q et un coefficient de d sont égaux , les termes considérés sont correspondants. Gela résulte des*.

C'est de cette composition des deux progressions que résultent les propriétés des logarithmes dont nous aurons à faire usage.

Propriétés des logarithmes.

348. Propriété fondamentale. Le logarithme rf un produit est la somme des logarithmes de ses facteurs.

Cest-à-dire , que si on muliipiic entre eui plusieurs termes de la progression par quotient , d'une part , et si on additionné de l'autre les termes correspondants de la progression par différence, le produit et la somme sont deux termes correspondants des deux progressions y autrement dit, la somme est le logarithme du produit.

Considérons , par ex. : les termes 9% 9% q^ de la progression pnr quotient; leurs logarithmes, c'est à- dire les termes correspondants de la progression par diiïérence sont respectivement 2d ,■ 5(/, 8rf,- le produit ç* X v* x ?« = ?*■*■•+*; ce produit (56) fait partie de la progression par quotient (Remarque l*") ; il y occupe le rang (2 -f- 5 + 8j + 1 , c'est à-dire le 16" rang (Remarque 3°). La somme des logarithmes est 2rf + 5rf + 8rf = (2 + 5 + 8) x rf ,• c'est un terme de ia progression par différence (Remarque 2*>) ; elle y occupe le rang (2 -j. 5 +8) -fi 9 c'est-à-dire le 16* rang

2i>8 ' COURS D*AR1THM6TIQDfi.

(Remarque 3*). La somme el le produit sont donc deux ternes correspondants des deux progressions ; la somme est le logarithme du produit; ce qu'il fallait démontrer.

R£MARQUt:. Cette démonstration est générale* Puisqu'on ne prend que des termes correspondants dans les deux progressions, les exposants que l'on additionne pour former re]qK>sant de q au produit sont égau^i , un à un , aux coefficients que l'on additionne pour former le coefficient de d dans la somme. L'exposant de q dans le produit et le coefficient de d dans la somme ne peuvent donc manquer d*être égaux ; le produit et la somme sont nécessairement deux termes correspondants. Le produit a toujours pour logarithme la somme des logarithmes de ses facteurs.

549. 2'' Propriété. Le logarithme d'un quotient ê'obtiefU en retranchant le logarithme du diciseur du logarithme du dividende.

Soient deux nombres a et 6 dont le quotient est c. Par définition ' du quotient» a=bxc. D'après le théorème précédent, loga ou log (6xr) = log 6 -|- log c ; on déduit de là, log c s iog a — log b. Ce qui démontre notre proposition.

350^ 3* Propriété. Le logarithme d'une puissance d^un nombre est égal au logarithme de ce nombre multiplié par V exposant de la puissance.

Par ex. : log a' = S log a.

En efifet, a* = aXaXaX(iXa; Loga'=loga-f loga-f-logâ + loga + log a = 5 log a.

3âi. U* PROPRifiTÊ. Le logarithme d*une racine tun nombre est égal au logarithme de ce nombre divisé par IHndice de ia rû-

cifie.