Nombres décimaux. Ex. : Trouver log

RÈGLE. Faisant abstraction de la virgule , on cherche le log. du nombre entier résultant ; ce logarithme trouvé , on remplace sa earactérifitique par celle qui convient au nombre décimal donné.

En opérant comme il a été indiqué (W^ cas) , on trouve

log2i97&8=:5,3M92^9;

on en conclut log 219,7(i8 « 2,3&192&9 , d'après le n* 358.

Il ne s'agit dans la règle précédeote que des nombres décimaux plus grands que 1, puisque nous n'attribuons pas de logarithmes aux nombres moindres que 1.

Nombres frac nor naires. On joint l'entier à la firaction quand il y a lieu ; cela fait» on cherche le logarithme du numérateur, celui du dénominateur ; on retranche le dernier du premier ; le reste est le logarithme du nombre fractionnaire donné.

(173 \ 101 + ^^ijjj.

... . 173 2197M ^2174 21 if a {V cas) log 2197(i7 = 5,3619091

(2^ cas) log 2174 = 3,3372595

2197'i7 log. ^^^ = 2,0046496.

Fractions ordinaires ou décimalps moindres que 1. Ces nombres n'ayant pas de lognrlthmes, il n'y a pns lieu de nous en occuper Ici; dans les applications des logarithmes dont nous allons nous occuper, nous indiquerons ce que l'on fait quand on rencontre de

pareils uonibres. 503 Problème II. Connaissant le logarithme d'un nombre,

trouver ce nombre.

Nous supposons que le logarithme donné n'ait que 7 décimales ;

279 60VM 0*AIUTHaiÉTlQUfi.

»'ii m avait davantage , on devrait supprimer tontes celles qid suivent la septième* En ontre , comme la caractéristique du logarithme donné ne doit servir qu'à indiquer Tordre des plus hautes unités , on en fera d'abord abstraction 9 et on n'aura égara qu'à la partie décimale de ce logarithme , ainsi qu'il va être indiqué.

Soit pa^ éx. i lo|f N = 2,8395969^

LogNsr 2^3395969

On cherché au haut de là table , en dehors de l'encadrethênt , parmi les nombres précédés d'une t^ lé tiômbre que forment les 3 premiers chiffres décimaux du logarithme dontié, danS nôtre exemple â39. On s^arréte^ oU à ce nombre de 3 chifrres tfôuvé exactement parmi ces nombres précédés dé L , oïl bieh à celui de ces nombres qui en approche le plus , en mbini.

Dans notre exemplé^on s'arrête ainsi à là page, aiihaUt de laquelle on trouve^hors du cadre, L. 934. (Y. la page spécimen , p. 263) (*}• On parcourt dans cette page la colonne intitulée , t tegaMant seulement sur la gauche les nombres isolés ou détachés de 3 chiffres y jusqu'à ce que Ton ait trouvé celui qui commence la partie décimale du logarithme donné 9 c'est-à-dire 339 ; ayant trouvé ces 3 premiers chiffres, on cherche toujours dans la colonne intitulé 0, parmi les nombres de h chiffres, qui y sont situés entre 339 et kUQ, les quatre derniers chiffres décimaux 5969 du logarithme donné; n'y trouvant pas ces 4 chiffres exactement , on y prend le nombre qui approche le plus, en moins de 5969; c'est 4514 ; on écrit alors, à part, le nombre de 4 chiffres qui se trouve à gauche de 4514 , dans la colonne intitulée N, c'est-à-dire, 2185. Puis partant de 4514, on parcourt de gauche à droite la colonne horizontale dont ce nombre fait partie; on y cherche les 4 dernières décimales 5969; ne les y trouvant pas exactement, on s'arrête à celui de ces Nombres de

(*) Ou M«D à la fin de la page précédente.

i!<iOMBBË CORRESPOIfOANT A UN LMABITHME DONNÉ. 37 i

k chiffres qui approche le plus, en moin$ de 5969; c'est 5906; on écrit 5906 sous 5969 du logarithme donné » et en môme temps on fait suivre 2185 du chiffre écrit au haut de la colonne verticale» dans laquelle on a trouvé ce nombre 5906 inférieur à 5969 ; on l^rme ainsi 31857 ; cela fait» on soustrait 5906, écrit comme il a été indiqué , du logarithme donné ; on trouve le reste 63 ; on cherche 63 dans la colonne de droite de la petite table voisine de différences proportionnelles (celle qui a en tête 198). (Y. le 4* cas du précédent problème) {*). Ne Ty trouvant pas exactement » on voit le nombre de cetle colonne qui en approche le plus» en moins ; c'est 59. On prend le chiffre 3 écrit à droite de 59 dans cette petite table, et on récrit à droite du nombre de 5 chiffres, 21857; déjà trouvé ; ce qui donne 218673 ; si on tient à calculer un chiffre de plus , ou retranche 59 de 63 ; le reste est k ; on fait suivre k d'un 2éro ; d'où kO. On cheri he UO dans la même petite table à droite ; l'y trouvant exactement» on prend le chiffre 2 à gauche de 40 pour récrire à droite de 218573 ; on a ainsi 2185732. ( On ne doit pas continuer l'usage de la petite table au delà de ce V chiffre. ) On termine le calcul en ayant égard à la caractéristique 2 du log. donné ; d'après cette caractéristique , le nombre cherché devant avoir 3 chiffres à gauche de la virgule décimale ^ nous plaçons une virgule après le troisième chiffre , de gauche à droite ; d'où enfin N =s 218>5782 , à mohds d'une unité de l'ordre de son septième chiffre (357).

Si la caractéristique avait surpassé 6 » on aurait ajouté à droite de 2185732 assez de séros pour que le nombre résultant eût autant de chiffres plus un qu'il y a d'unités dans la caractéristique.

Est- il nécessaire d'ajouter que si on trouvait les U dernières décimales dans la colonne intitulée Ot ie problème se trouverait résolu; le nombre situé dans la colonne intitulée N^ à gauche de ces h chiffres» serait le nombre demandé» sauf toujours à avoir égard à la caractéristique donnée » comme il a été indiqué plus haut £x. : Log. j; = 0, 3386557. En suivant la marche indiquée , on

(*] Quand la différence écrite en tête de la petite table, Ex. : 198, est inférieure à lOO, ou voisine de lÛO, en plus, il ne faut même pas aller au delà du 6* chififre; on s'arrête après avoir trouvé le 6* chiffre à Taide de la petite table.

A l'aide des logarithmes, on ne peut déterminer exactement que les 6 ou 7 pre» miers chiffires d'un nombre, à partir du 1*' significatif à gauche»

272 GO0AS D*AMTHIIÊTlQtm.

trouve les 4 dernières décimales 6557, exactement dans la colonne 0; à gauche de 6557, on trouve 2181 ; la caractérisUque étantO, on place une virgule après le 1" chiffre de gauche , et on a a; = 2,181.

Il en serait de même si les k derniers chiffres se trouvaient exactement dans Tune des colonnes horizontales ; le problème serait résolu quand on aurait écrit comme 5' chiffre de gauche, à droite, du nombre cherché celui qui est en tête de la colonne verticale où on a trouvé exactement ces U dernières décimales ; sauf toujours à avoir égard à la caractéristique. Ex. : Log. x=\, 3375591. Eo suivant la marche Indiquée, ayant déjà écrit 2175 pour les U premiers chiffres de gauche à droite du nombre cherché, on trouve exactement les U dernières décimales 5591 dans la colonne horizontale que l'on parcourt, à la rencontre de cette colonne horizontale avec la colonne verticale Intitulée 5; on ajoute 5 à droite de 2175 ; ce qui donne 21755 ; Il ne reste plus qu'à avoir égard à la caractéristique, 1 ; ^ = 21,755.

Cas partjculieb. Il peut arriver que le 1^' nombre de U chiffres trouvé au-dessous des 3 premières décimales du logarithme donné, surpasse le nombre que forment les U dernières décimales de ce logarithme. Ex. : Log. ir = 1, 3380287. Dans ce cas, il faut chercher dans la colonne horizontale incomplète qui commence par les 3 premières décimales 338, du logarithme; c'est dans cette colonne qu'on trouvera les U derniers chiffres, 0287, ou le nombre de U chiffres qui en approche le plus, en moins; c'est 0180; on prend le nombre de U chiffres à gauche de 338, et immédiatement an-dessus c'est ; 2177 ; on le fait suivre du chiffre 8 qui est en tête de la colonne oii on a pris le nombre approché, 0180; ce qui donne 21778; ayant placé 0180 sous les li derniers chiffres du logarithme donné 1,3380287, on fait la soustraction , puis on fait us<'ige du reste comme il a été indiqué dans le cas général pour trouver un 6', et si on veut un V chiffre du nombre demandé à Taide de la colonne diff.

Log. ar= 1,3380287 )