INTÉRÊTS COMPOSÉS
Combien payera-t-on de francs par la voie indirecte de Paris sur Berlin , Berlin sur Hambourg j et Hambourg sur Londres.
367rr-,50 = 100 rixdales.
152"»d.^0a = 300 marcs banco.
100 marcs banco = 123 marcs lubs.
13 marcs lubs = 1 liv. st.
1248 liv. st = a? fr.
d'où 317fr-,50Xl52,04xl00xl3Xl248 = 100X300Xl23xar.
d'où ap =
Même observation que précédemment sur les facteurs communs, rixdales, marcs banco, marcs lubs, liv. sU , exprimés chacun par nn nombre de francs.
On comparera cette valeur de 1248 liv. sterl. aux deux précédentes.
Avant de foire la multiplication des nombres de gauche , il est bon de supprimer les facteurs communs qui se trouvent à droite et h gauche; ex. : 100, facteur commun de 100 et 300 ; on barre, 100 et 300 , et on remplace le 1"" par 1 , et le 2* par 3 ; on fait comme pour la règle de trois; mais on fait les simplifications avant de multiplier.
Intérêts composés.
408. Les intérêts sont COMPOSÉS quand, chaque année, on joint au capital Vintérêt qu'il a produit pour former un nouveau capital produisant intérêt durant Vannée suivante (*j.
PROBLÈME. Que devient au bout de 8 ans un capital de 12(100 fr, placé à intérêts composés, d 5 p. O/o-
1 fr., en un an, rapporte 5/100 ou 0,05 d'intérêt; chaque capital de 1 fr. augmenté de son intérêt devient donc , au bout de Tannée , 1,05; donc 12000 fr. ou 12000 capitaux de 1 fr. prendront à la fin de la première année une valeur égale à 1,05 x
(*) Les intérêts se capitalisent généralement d'année en année ; on pourrait convenir d'une autre période.
330 COURS d'arithmétique.
irOOO=: 12000(1,05) « a,. Ce capital, a, fr., produit intérêt durant la deuxième année ; chaque franc de ce capital ^ augmenté de ses intérêts pour celte deuxième aqnée , devient 1,05; les a^ fr. prennent une valeur égale à «j x 1,05 = «j. Remplaçant «j, par sa valeur numérique, on trouve a^ = 1*2000 X (1,05) X 1,05 = 12000 (1,05)*.
Le capital a^ , placé au commencement de la troisième année^ prend à la fin de cette troisième année, la valeur a, x (1,05), d'après le môme raisonnement; a^ x 1,05 = 12000 X {1,05)' x 1,05 = 12000 (1,05)' ^ ttg. Au bout de quatre ans, la valeur es 12,000 sera deyepue 13000 (1,05)*; etc., jusqu'à la huitième année, à la fin de laquelle le capital a pris la valeur 12,000
X (i,or))«.
Ce raisonQ^iuQpt est tq^t à U\\ général ; si on veut traduire le résultat en formule, on désignera par a la vale^if du capital, par i rin(érê( (Iq 1 fr. po^i: yi| ^\k^ çt la valeur de h au bpqt de » années par j4\ le raisonnement étant fait sur A comme sur 120Û0 on îjrrive ^ eettç formule 4 ^ (» (1 + *)** (1).
Due pareille val0UF $e calcule ordiuairçrq^nt ^ J'aide de^ logarithme» ; Ipg. ^ = a •+• ^ }pg (4 + i).
Dans Texemple proposé:
log A = log 12000 + 8 log (1,05).
Que devient au bout de 8 qm 3 mois 20 jours un capital de 12000 fr. placé à intérêts composés, et à 5 p, O/o par an.
Au bout de 8 apç, d'après pç qui précède, le capU^^I a pris une valeur de 12000 ^l,05)^ Cette sQmme 12000 (1,1)5)'' dpit encore rester placée à iptérêts simples durant 3 mois 20 jours ou 110 jours.
L'intérêt de 1 franc pour HO jours à 5 pour O/o est
-^ (formule générale) ; 1 franc augmenté de son intérêt,
0,05 X ttO pour ÎIO jours, devient donc égal à 1 -| -— — .
Chaque franc prenant cette valeur, le dernier capital 12000 (1,05)^ prendra cet(e valeur multipliée par 12000 (1,05.!*; doue
mTÉRÊTS COMPOSÉS. 331
la valeur cherchée (]es 12000 fr. au bout de 8 ans 3 mois 20 jours.
On évalue A à l'aide des logarithmes.
Ce raisonnement est général; on peut formuler ainsi le résultat
K=a{i + iTU + iX ?);
- est la fraction d'année qui accompagne le nombre entier d'années (daps l'exemple précédent , 110/360),
PROB^tME TisvçRSfi. Q%^el est U capital qui , placé à h p, O/o , prenfirait au haut de 8 ana une valeur de 15000 fr. ^
Appelons a le capital inconnu ; en le soumettant au raisonnement du n' 408, ou employant la formule (1^ on a A = ^(1 .0/1)"; mais A =: 15000; donç^ 15000 = a X {iM)^- Appliquant les logarithmes , nous aurons :
log 15000 = log a + 8 log 1,0/i^ d'où log a =: log ISOOO — 8 log 1,0^.
PROBLÈME, ^u bout 4e comkien ui\ capital y placé 4 intérêts composéa et à ^ O/o 9 es^t-U doublé ?
a doit devenir ia ,* rf^mplaçant , da^^ ]^ formule (1 ) , A par 2a , on trppv^
2a = a (1,05)* ou 2 = (1,05)'-
On voit facilement que n n*est pas un ppmbre entier (150). Le capi^l ne sç trouvera pas doublé exactement au bput d'un nombre ftiïXïev d'anqées ; supposons qu'il se trouve doublé dans l'intervalle de lapénie à la (/^-j-l)'^™® ^nnée,
(1,05)P<2 ou (1,05)" < (1,05)P+^ plog(l,05) < nlog(l,05)<(p+l)log(l,oS).
ou enfin p < n < p -|- 1 .
^insi, la partie entière de l'expression en années du temps
332 COURS O'AHITUMÉTIQUE.
cherchée est la partie entière de la valeur du nombre n de Téqua* lion 2 = (1,05)".
En appliquant les logarithmes à cette égalité , on trouvera le nombre d'années cherché n à moins d'une unité.
Supposons qu'on ait trouvé 14 ans; on mettra \U dans la formule (2) ; puis l'égalité
P simplifiée , donnera la valeur de - ou de la fraction d'année com-
plémentaire de 14.
On trouverait de même le temps au bout duquel un capital est triplé 9 quadruplé^ etc...., acquiert une valeur donnée quelcofnque.
Annuités,
409. PROBLÈME. Un employé fait^ chaque année, 600 /r. d'éco^ nomies qu'il place chez un banquier à intérêts composés ^ à 5, p. O/q. Ayant pris sa retraite au bout de 25 ans, il retire son argent pour acheter une maison^ en y joignant ses économies de la dernière année.
Combien possède-t-il m tout? (Placement par annuités.)
L'intérêt de 1 fr. pour 1 an est 0^05. La première somme de 600 fr: reste placée chez le banquier durant 24 ans ; elle acquiert donc la valeur 600 (1,05)** ; formule (1), page 330.
La deuxième somme placée durant 23 ans devient 600 (1,05)*'; la troisième somme id. pendant 22 ans devient 600 (1,05)*% et ainsi de suite. L'avant -dernier placement ne durant qu'un an, les 600 fr. deviennent seulement 600 (1,05) ; le dernier ne rapporte aucun intérêt 3 c'est 600 fr.
La somme de toutes ces valeurs acquises au bout de 25 ans, dans leur ordre renversé, est donc 600 + 600 (1,05) + 600 (1,05)»+... +600(1,05)** ou 600 (1+1,05+1,05)*+(1,05)»+... +(1,05)"). La somme entre parenthèses est la somme des termes d'une progression par quotient dont le 1"" terme est 1 , la raison 1,05 et le nombre des termes 25. Faisons donc dans la formule
S=^ ^ ""/ du n» 344, « = 1, ûf = l,05 et n=25. q — \
