DIVISIBILITÉ DES NOMBRES
58. DÊnNinoNS. On appelle muUiple d'un nombre tout produit de ce nombre par un nombre entier.
On appelle facteur ou sous-multiple d'un nombre tout nombre dont le premier est un multiple.
Ex. : 20 est un multiple de 5 ; car 20 = 5 x &; réciproquement 5 est un facteur on sous-multiple de 20.
Quand la division de deux nombres se fait sans reste , on dit :
l*" Que le plus grand nombre est êivirihle par le plus petit;
2*^ Que le plus petit nombre est un diviseur du plus grand.
Ex. : 20 est divisible par 5, et 5 est un diviseur de 20.
Dire qu'un nombre est divisible par un autre ou qu'il est un multiple de cet autre ^ c'est évidemment la même chose , car les deux égalités 20 : 5 =: ii et 20 = 5 X & sont des conséquences l'une de l'autre.
De même^ les mots facteur , sous-multiple , dimseur ont des significations parfaitement équivalentes.
On emploie encore assez souvent le mot de paflie aliqueie dims le même sens que le mot diviseur. .\>i
On appelle partie aliquote d'un nombre donné tt»ut' nombre contenu un nombre entier de fois dans ce nombre donné. Ex. : 5 et 4 sont des parties aliquotes de 20. > i
^ On appelle nombre premier tout nombre qui n'est divisible que par lui-môme ou l'unité. Ex. : 7.
, dits premiers entre euçç ^ ^an^ ils n admetcommun que l'unité., ., ,'
tent d'autre diviseur commun que l'unité., . , .
i-' ex. i 8 et 5; 2*«. tf, 2b,"M.' ï'»^»" » ^^^^
pRiHaiPia.DE iavi8iiiujKrÉ. (^1^
59. RfiMARQUE. Tout nombre premier qui n'est pas divisear d'an autre nombre est premier avec luL Ex. : 7^ qui ne divise pas 24, est premier avec 24.
Les seuls diviseurs de 7 sont 7 et 1; 7 ne divisant pas 2ii, le seul diviseur commua à 7 et 24 est 1. ^
60. Théorème I. Tout diviseur de plusieun nombres est un diviseur de leur somme. Autrement dit :
La somme de plusieurs multiples d'un nombre est un multiple de ee nombre.
Ex. : les nombres 24^ 30, 18, étant divisibles par 6, leur somme 72 est divisible par 6.
En effet, 24 = 6 + 6 + 6 + 6 {Ufois)
30 = 6 + 6 + 6 + 6 + 6 (5 fois) 18 = 6 + 6 + 6 (3/bw),
La somme 24 + 30 + 18 = 72 se composant de tous ces nombres, 6, réunis, est évidemment un multiple de 6.
72= (4+ 5 + 3) fois 6 = 12 fois 6 = 6X12.
61. Corollaire. Tout diviseur d'un nombre divise les multiples de ce nombre.
Ex. : 5 diviseur de 30, divise exactement 30 x 7. En effet, 30 X 7 est la somme de sept nombres égaux à 30; 5 , diviseur de chacun de ces nombres , est diviseur de leur somme.
62. Théorème II. Tout diviseur de deux nombres divise leur différence.
Ou Wen, la différence de deux multiples d!un mime nombre est un multiple de ce nombre.
uEjl^i 6i diviseur de 30 et 18, divise leur différence 30 —18=12.
Eneiffet, 30 = 6 + 6 + 6 + 6 + 6 (5 fois)
r,. . . . . 18 = 64-6 + 6 iZ fois).
Onobti^nj la différence 30 — 18 = 12 eu retranchant de la 1'«%oainfé^tdlls'1ès hombres 6 de la seconde ; ir reste 3ft)fe6; donc30 — 18 = 2fois6=tix5.' D ♦..!.. v •
65. (:oROLL4«iÇ(*j f/n npjfihre élap^lp^s0r^tfie.ife deux autres ,
t§u$ éimtêur àe ta mmff^ ^ à$ l^um êês pm^Hes âivi$ê wmctement
£x. : 30 = 18 + 12. Le nombre 6 divtoeuF de 50 et )8 divise eiKadtem^Qtia; eo effet 13 est la différeBee etttpe 80«(i8.79esi UQtroisième énoncé du théorème IT.
64. CORMiAiRB II. Toui dMsetii^ de dm» HêmftrM difrièe* le reste de leur division.
Ex, t bkO 3±> 150 X t-f- M. Le neffibre ê, qui divise àhi iéts le dividende 5^0 et le diviseur 150 divise le reste 90 de leur division. £» effet 5^ 4ivi8eitpdelftO, divise 459x5, ffioltipie de 160; 6 divisant une somme de deux nombres , 5Uèj tî l*tfB de ee» sombres, 150 X 3, dpit diviser l'autre noipbre, 90; (63).
65. Théorème III. «ft ui} nofnbre donné sç décompose en un multiple dun certain diviseur^ plus un autre nombre quelconque, la division de ce nombre donné et de sa seconde partie par ce dmseur donnent le même reste,
n peut arriver Aevtn qm }
V La seconde partie du nombre éenné est m lAulItple du dlf(M seur en question; alors le noipbre dpnné adipet Iqi-même ce diviseur (60), et les deux divisions susdites donnent le reste zéro. Ç^f . : 8^ == 56 + 28 i ()iyi§eur 7.
T La seconde partie n'est pas un multiple de ce divi^euf. Ex. : 96 = 60 + 5§ ; 60 est m ïWHWplq 4^ IQ, et 36 np Vçs\ jpas:
eo = 6foisio 36==5/bfel0-f 6
96 = 9 /bis 10 + 6
La division de 96 et celle de 36 par IQ dqqpent le piéme reste fy 66. Qa a ^UK^^ t^eiplu de savqir si \ip nombre ç^t (Jivisible par un autre, et quand cela n'est pas , de connaître le reste de la di« vision du pl^iafraiid par Ile plus petit Le plus souvent, A e'Uliste^ pas de moyÇR pJiis simple de réaoïidife la question que de faire la division des deux nombres suivant la règle ordinaire. Cependant Papplication des prîRcipes qui précèdent , et surtout d» dernier, permettent , dans quelques cas particuliers que nmis allons indi*quer, d'arriver au résultat plus simplemeiH qtt'en divisant Vu& |^ar l'autre les deux nombres donnés. * i . . , ' «h
DivisiB|M7li Péa 9* '&» 4f }&, ETC. 47
QIT^Dil^lTl HJH if ftt ^f S^<^« ^S5» BTG,
