DIYISIBIIITÊ PAR 9 ET PAR
71. THÉORÈME. Pour trouvcT le reste de la division d'un nombre par 9, il suffit de faire la somme des valeurs ab$olues des chiffres de ce nombre , et de diviser cette somme par 9 ; le reste de cette dÂvir- 9ion est le reste cherché.
Corollaire. Pour qu*un nombre soit divisible par 9, il faut et il suffit que la somme des valeurs absolues de ses chiffres soit divisible par 9.
En effet ,
l"" L'unité suivie d^un nombre quelconque de zéros exprime, un multiple de 9, augmenté de 1.
Soit pour exemple 10000. Posons la division de 10000 par 9.
En 10 il y a une fois 9 et le reste 1 ; on abaisse un zéro ; en 10, il y a une fois 9 et un reste 1 ; cette opération se répète autant de fois qu'il y a de zéros à la droite de Tunité ; chaque reste étant 4^
DIYiamEITi'MR 9 ET PAR 8. ft9
9i«liVi# foltle nombre- des zéros 5 le reste final est ^ég^A à 1 : par soite, te diTldeode» pnisance qoelconqQe de 10, égal an produit de d par le quotient 111... plus le reste 1, est toujours un multiple de 9, plus un.
2** COROLLAIBE* Un chiffre iigni/Uatif quelconque tuivi d*un ou de plmeurs zéroê est un mulHple de 9 augmenté de la valeur absolue de ce chiffre.
Ex. : 6000 = 1000 X6=s(9xm+l)x6 = 9xmx6 -f 6 9 ce qui est bien un multiple de 9, plus 6.
11 résulte de là que la valeur relative de chaque chiffre rignificaiif d^un nombre est un multiple de 9, plus la valeur absolue de ce chiffre ; donc le nombre lui-même , qui est la somme des valeurs relatives de ses chiffres^ est égal à une somme de multiples de 9, ce qui fait un multiple de 9, plus la somme des valeurs absolues de ses chiffres.
C'est ce qu'on explique quelquefois par le tableau suivant :
60 = unm.de 9+ 6
800 = un m. de 9 -f- B
5000 = unm.de9 + 5
30000 = un m. de 9 -f 3
85867 = un m. de 9 +(7 + 6 + 8 + 5 + 3).
Tout nombre étant égal à un multiple de 9 , plus la somme de ses chiffres significatifs, on obtient le reste de la division d^un nombre par 9 en divisant la somme de ses chiffres par 9 (n"" 65, Th. III). Le nombre est ou n'est pas divisible par 9, suivant que cette somme est ou n'est pas divisible par 9.
72. Un nombre est divisible par 3 quand la somme des valeurs absolues de ses chiffres est divisible par 3. En général, le reste de la division d^un nombre par 3 est le même que le reste de la divi^ sion de la somme de ses chiffres par 3.
Tout cela est une conséquence de la décomposition précédente. «.|J%4(io»iW(^}aut 6(pi h un multiple de 9, plus la somme de ses ^9rfl9rij^s4|égfi^à ttn«midtlple de 3, plus la somme de sescUffres. Cfti|,4^pt wilti9t^id^)9 est divisible par 3, facteur de 9.
iQ COURS D^A»iTHlfkXfai}&.
fi. Rrmvf fsr 9 de la multiplitatwn ou de la dimàon. fif pUqtt&Hft d^abord , nur ua exemple , L| {uraaye par de la littltipUcaUoQt
8 538 53^= 9XlSi + ri(r^l)
1614 538 X W3, ou
fiîs? 25447A = (»X?w4-»:)x9>îCitf+9xmXf'+r^r',-
254474 ou 254474 = un multiple de 9 + r x r' ,•
Car ce qui précède rXr' est la somme de deux multiples de Q, il résulte de ce tableau que le reste de la division par 9 du produit 254a74 est le môme que celui de la division par 9 du proçluif rXr'i r étant le reste de la division par 9 du multiplicande; r', le reste id du multiplicateur. On déduit de là cette règle :
RÈGLE. Pour faire la preuve par 9 d'une multiplication, cherchez : 1*" le rç$le r de If^ division pçtr 9 d\i multiplicfn^df (71) ; 2" le reste r' de la division du multiplicateur; 3" mi^ltipliez r par r' , puis cherchez le reste de la div^sipr\ pc^r g (fu prof^ifit des restes r X 1*'; soit v" ce ^^ reste ; k°enfi^, cf^lculçsf /ç resf§ fie la division par 9 y du produit obtenu ; vous dçvfz ^(ouvf^ un ffs(§ égal à r".
La preuve par 9 de la division sp \^\i cojf^^ç il suit ; 911 retranche du dividende le reste final de la division ; le résultat de cette soustraction doit être le produit exact du diviseur par le quotient. Si donc on applique au diviseur (multiplicande), au quotient [mul- UpHcateur), et au reste de la soustraction précédente (produit), la règle ci-dessus , on doit parvenir à la vérification indiquée par cette règle.
Quand on fait la preuve par 9 , il peut arriver que , dans le produit, on se trompe en plus sur certains dïilfres d'une ou de glusieurs unités, et d'autant d'unités, en moins, sur d'autres chiffres ; la somme des chlfflres restant la même , la susdite preuve ne fait pas découvrir les erreurs (*).
(?) La divisibilité par 11 n'étant pas le programme, nous la mettons à la fin i§ i« j}iyiaU)iUté ; nous Vy exposons eKiottmtfnt coiQike noiu Fftiuriooi fait ici , g0)ijr ^1^ (|9i youdro)[^( ('étudier* y. mi^ 1$.
74. Ifoos traiterons d'abord la questiOD pour deux nombres seulement
Par abréviation^ nous désignerMs souvent le plus grand commun diviseur p^r ce; initiales ^ le p. g. p. d.
Soit proposé de trpi}ver j^ p. g. Cj d. entre 5^8 et 96.
Ce p. g c. d. devant diviser 96 pe saurait être plus grand que 96 1 si donc 96 d^^î^.^)^ ^My <^9^^P \] se devise lui-même, ii SjBrait Iç p. ff. ç. d. cherché. Essayons 4Qnç l^ division dp S48 par 96.
On trouve un reste 60; 96 n'est donc pas le p. g. c. d. cherché. Néanmoins , la divteion que nous venons de faire n'aura pas été inutile , car le p. g. c. d. entre 8/18 et 96 est le même que celui qui existe entre 9Q et 69 ; p'^st ce que Qous allons prouver.
Il résulte de la djvisiop pr^céflçpte que 848 ^ 96 x 3 + 60.
1« Tout diviseur commup à 3/^8 et 96 est diviseur commun à 96 et 60. En effet, ce (diviseur 4e 3^8 et ^6 diy|§e 96 x 3, multiple de 96^ divisant une somme 348 et Tune de ses parties 96 x 3 , il divise V^ff^P P^Fi^^ ^^ > '^ ^ ^OQc diyi^quf; cpiQmup à 9Q et ^0. 2^ rouit 4iyiçe|ii: poiQmuù à ^6 et 6P e«t m^ divi^^ur poinçiun i^ 348 et 96. Ça ^m, pe diyfepur ^^ Q^^^f 60 divi^p 96 x 3 ^ 4ivir saut 96 X 3 et 60, il djvi^e leiir H>mm 9^9 ; il »^i 4ppc 4ivi$ew |C0(Ufpi;n ^ 348 ef 9A* |^es4iviseprspoii)muQ$ ^ 348 et 96 çQut dpnc
)^f mêlées, un ^ ^n, aup les djvi^ur^ cpi^i^^m^ à op et 60; jip
plu$gr^4parm; Ips prieçiiers p$t donc te rn^m Que le plu$ graud panpi les dernier^. Aiftfem^ot dit, le p. g, c. d. eut^ji^ 348 et 86 jBst le môme gue cpjqi gj^ ^^»t^ ^aU:^ 96 pt 6ft,
Cette déiuonstratiQfi est gépér^e ^ .e( ^ou3 ppuvpj^s ppser ep principe que :
Le p. g, ç, 4* ^T^ 4^^ f^ambr^s q^elcof^q^es çst le mênk€ que celui qui existe entre le plus petit de ç^ d^\kx nombre et le reste (/e leur division.
Revep^pi^ j^ 348 ^t 90 » PQDf ^9MY^ \f^ 9 g* (EMd. ^e ces 4«W
6i COURS D^ÂRlTHMÊTtQUfi.
nombres , il dous suffira donc de trouver celui qui existe entre 96 et 60. Pour voir si ce p. g. c. d. n'est pas 60 loi-même ^ nous essayerons la division de 96 par 60.
60 n'est pas le p. g. c. d. ; mais en vertu du principe*que nous venons d'établir, le p. g. c. d. entre 96 et 60 est le même que celui qui existe entre 60 et 36, Nous sommes donc conduits à dîvi» ser 60 par 36 ; cette division donne un reste 24. Raisonnant de même, nous diviserons 36 par 24; cette division donne un reste 12. EnGn. nous diviserons 24 par 12 ; la division se fait sans reste. Nous concluons de là que 12 est le p. g. c. d. entre 24 et 12, par suite entre 36 et 24, puis entre 60 et 36, puis entre 96 et 60 , et enfin entre les deux nombres donnés, 348 et 96.
Voici le tableau des opérations qui ont été fiaites avec la disposition qu*on leur donne ordinairemient.
Ce raisonnement conduit évidemment à la règle suivante.
75. RÈGLE. Pour trouver le p, g, c. d. entre les deux nombres , divisez le plus grand nombre par le plus petit; si la division se fait sans reste, le plus petit nombre est le p. g. c. d.
Dans le cas contraire, divisez le plm petit nombre donné par le reste; si cette division ne donne pas de reste , le premier reste est le p. g. c. d, de deux nombres donnés ; si on a encore un reste y on divise le premier reste par le -second; ainsi de suite, on divise chaque diviseur par le reste correspondant , jusqu'à ce qu^on arrive à une division qui se fasse exactement. Alors, le dernier diviseur employé est le p. g, c. c/. cherché.
Lorsqu'on arrive au reste 1 , on conclut que les nombres prop osé sont premiers entre eux.
Il résulte de notre raisonnement que le p. g. c.d. entre les 'nombres proposés est lé liiême quié celui qui ex&te eâfre deux
Dû PLUS GRAND COAIMUN DIVISEUR
restes consécoti& quelconques, ou bien entre le dividende et )e diviseur de cliaque division. ^
Les restes successifs allant constauinient en diminuant , il est évlr dent que la recherche du p. g. c. d. de deux nombres doit toujours se terminer après un nombre limité de divisions.
On peut quelquefois abréger le calcul.
Rappelons-nous que tout nombre premier qui ne divise pas un antre nombre est premier avec lui.
Si donc on arrive à diviser par un nombre premier absolu , on n'a plus qu^une division d faire.
En effet , ou ce nombre premier divise son dividende , et alors il est le p. g. c d. cherché ; ou bien ne le divisant pas , il est premier avec lui; ces deux nombres ayant l'unité pour p. g. c. d., il en est de même des deux nombres proposés.
76. THÉOBÈME I. Tout nombre qui en divise deux autres divise leur p.. g c. d,
Ex. : Le nombre U qui divise 348 et 96 divise leur p. g. c d. On se fonde sur ce théorème démontré (6&); tout nombre qui en divise deux autres divise le reste de leur division.
Écrivons le tableau de la recherche du p. g. c. d. de 3&8 et 96.
3ft8
2ft
2ft
U divisant ZUS et 96 , divise le reste 60 de leur division (pU) ; U divisant 96 et 60, divise le reste 36 de leur division ; et ainsi de suite, U divise tous les restes successifs de Topération ; donc il di-r vise le p. g. c. d., 12, qui est un de ces restes.
La réciproque est évidente : Tout nombre qui divise lep,g, c. d. de deux nombres divise ces nombres. Il suffit d'observer que les nombres sont les multiples de leur p. g. c. d.
77. Proposons-nous maintenant de trouver le p. g. c. </. de plus de deux nombres^ par exemple , des nombres 540, 348, 96 et 122.
On peut ramener cette recherche à celle c|u P* ?• ^- ^- eiiiTe deux nombres à l'aide de la règle suivante. On cherche le p. g, r, ci. efiire deux.des nonces proposés y 540 et 348, par exemple ,
ik COttRSi E^âllITâllÉTl<}UÉ«
Héii û cep: ^. r. U. tHlh; tèp: §. e. â. tH&êtï H UfiÉa wmk^w restants y 96, par exemple ,* soit d' le fMhi^i tibimu , rfn ^Aar^te efi^ri te p. g. c. d: ^tt9 et et lé njuatriêmè nôfhbre id2 s wtl d" ce p: g, e. d:^ d" est té pt ^: t^. &: dbs quatre nôtnkreB.
Pour le prouver, observons d'dbord que d" est dirlsear com-* man aux quatre Dombreà fin effet ^ d'' divise ,' d'ftprès sa définitloa, les tibinbrcs d' et 133 $ divisant d\ il divise deiW, oitiltiples de d'; divisant d, il divise S/iO et ^UH , iniilti{iles de d. 9 ei" est donc bien un diviseur eotnifltin aux quati^ nombres. Aucun diviseur commun à ces quatre nombres ne saurait être plus grand que (f'; soit, en effet, a. Vnn quelconque de ees diviseur^; a divisant 5/ïO et US ; divise leur p. ^. c; d, rf ^ a divisant d et 96, di^ Wse leur p. g. t, d. d*; h divisant rf et in^ divise cf',* ce diviseur a n'est donc pas plus grand que df* ; if' est donc le p. g. c d. des quatre nombres , puisqtie cetti-d n'ont aubun cttvtsettr commun plus grand que lui.
7B. Le nombre éf' étatft fêcobiiti potrr ie p. g. c. d; dés quatre noibbres, il résulte de Id démonstration préoédèâte que :
Tout diviseur a commun é plusieUr$ nomèrê» dhisB kur p. ^. «: d:
Réciproquement , tout nombre qui divise le p. g. c. d. de plusieurs nombres divise tous eei ndmhreà ; car ceux-ci ne sont que des multiples de lebr p. 'g. c: d.
79. Théorème. Si on rtmttiplie plùsiewrs nombres donnés par un mêm^ nombre, le p.^, c: d* des prôdûUs oMnus est égal au p, g. c. d. des nombres primitivement donnés , multiplié par le multipHbateur eomfnuh,
l"" Je vais dMbbrd déffioÉtréi^ ce tMorêfliè pdUr deât mmttiH) pdf éitediple, S&8etd6.
Je suppose qu'ott leâ multiplie t)a^ ùri ifiôifié BdmdréiO;
ÉcrivOd!( le tableau dé là rèeherétië M p, gf: è. d: M iUi et 66.
iiis
se
• «Si- •
<!^é^élions màfiitetf ^lit ie p. g. è. d. é6m S/|9 )« l<^ét#e x iOf.
DU PLUf 0BA9B COUMUK DltlSEUR. H
¥e^ eéM , 11 faat d'abonA Aliisë^ S&8 :k iO t^ar 96 x 10 j en compariuat cette di? isloil à telle de 348 pa^ 99 ^ notn povivdhs dire d*àvaûoè que lé qtootlent de la dlyMoU «erâ 9. et të i*é4tè 60 X 10 (53). Il faut, pour continuer, diviser 96 x 10 par 60 x 10 j èottfpârant celte division ^ celle de Ô6 par 60, on conclut que le quotient de la division sera 1 , et le reste 3d X 10 i ed Mti eenduit à dhiser (M) x 10 par 56 x 1^1 et ainsi de suite 4 les reètes $«Qoefl»ls sont Bhiltiplîés par 10 1 enfin, à la dernière di^tslodi celle de 2/k par 12 , ^i se fail sans fe^e^ correspondrsl la dltt'^ sîon des mêmes nombre» multipliés respectivement par 10 ; tt X 10 et 12 X 10 ^ qai se fera aussi sans reste (52). D'otl oo coftclot que le plu9 grand comtnun ditiseur de 348 :k 10 et 96 x 10 eb 12 X 10, Ge qoi démonlre le théorème.
2» Une fois ce théorème démontré pour deux nombres n on le démontre facilement pour autant de nombres que Ton veut.
Bx. : ShO, Hè; 96| 112.
Suppetsoiis qu'on mmiipUe tons ees nonibres j^a^ 1 ; Mt â lé p. 8« C'. 4. entra UO et Sas i d! ent^e i et 90 ; et d" entré t et ISf. Qb sait qo0 <f ' e^t lé p. g# é d des quatre nombre^.
Le plus g. c. d. entre 540 et 3éi8 étant d^ celui de 5&0 X f et %hi K 10 sera el x 10^ (!'') Me p. g. e; d entre d bi 96 étant (f, le t» g. c» d. entre é( >! 10 et 96 >!î 10 sera d! x 10$ te pw f|. Ci d. entre ê et 132 étant d'S le p. g. & d. entre tf x 10 et 132 X 10 est d!' x 10. Mai&i ee nombre d x 10 est le p. f ë. d# de» quatre prodails 540 «x 10« Mh x 10; 90 x 10, 192 x 10. Le tbéorème est dand démontré.
BO; TBÉORiiMf III. 6% on divi$e pluiieuri nouera ietrinéi p«t un même nombre, le p. g, c. d. des quotients est égal à Mu( dis nombres donnés divisé par ce même nombre.
On &éhmtê ke iWèbrme àfeHibftént Aè h Mbiè tàà^i^te que le précédent, en s'appuyant sur ce principe : quand on divise les deux termes d'une division par un mêtffe nonibrè i le ^tibtléttt entier ne K^Ê^^ë [tô^5 niais lé* l^të ëât dH^il^ par ëë ftdittbi^e (J3).
On peut aussi regarder ce théorème III (^oâsmë vtûè ébii Jdqttë^éè M ttîMrèiiie 11.
Ex. : On divise par 1 cbâétttf dei ^uétf 6 âàiftMeâ 9900; 9UW; 96é, 1020; tephis g; 0. d. tf d0j»qn0tiénts 5W, SM; 90, 19f èét ëgil au p. g. c. d. , D, dééâotHMfes ptiMmBh^^,' 3500 j été. ; dfflsë jla^lO.
$6 COURS d'arithmétique.
, Ea effet, 5400 « 540 x 10, 3480 = 348 x 10, 960 = 96 X 10, 1320 = 132x10 ; donc, (théor. II), le p. g. c. d.,D, de 5400, 3480, 960, 1320, est égal au plus g. c. d., d ., de 540, 348, 96« 132 ,
multiplié par 10 ; de D = d X 10 , on déduit d = — . Ce qu'il
fallait démontrer.
Application. Si plusieurs nombres, 5400, 840, 1080, dont on cherche lep.,g. c. d., ont un diviseur commun, facile à découvrir, comme dans notre exemple le diviseur 20, on peut les diviser d'abord par ce diviseur 20, et chercher ensuite le p. g. c. d. des quotients 270, 42, 54. Ce p. g. c. d. étant trouvé, il suffira évidemment de le multiplier par le facteur 20 mis à part.
81 . Théorème IY. Si on divise plusieurs nombres A , B , G , £ par leur p. g. c. d., les quotients A!, B', C', £' sont premiers entre eux.
En effet, puisqu'on a obtenu A', B', G', £' en divisant respectivement A, B, G, £ par le même nombre D, il résulte du théorème précédent que le p. g. c. d. de A', B', G', £' est égal au p. g. c. d., D, de A, B, G, £, divisé par D, c'est-à-dire, égal à 1. Donc, A', B', G', £' sont premiers entre eux.
82. Réciproquement, si en divisant des nombres ky B, G, Epar un même 'diviseur D, on a trouvé des quotients A', B', G', £', premiers entre eux , on peut dire que le diviseur commun employé était le p. g. c, d. des quatre nombres A, B, G, £.
£n effet, d'après les hypothèses, A?= A' X D, B =B' x D, G = G' X D, £ = £' X D. Mais le p. g. c d. de A', B', G', E' est 1; donc celui des produits, A' x D ou A, B' x D ou B, etc., doit être 1 X DouD.
lïOHBRES PREMIERS. -~ NOMBRES PREMIERS ENTRE EUX.
Rappelons les définitions :
Un nombre est dit premier quand il n'a d'autre diviseur que luimême et Tunité. £x. : 5, 7.
Deux nombres sont ùïts premiers entre eux quand ils n'ont d'autre diviseur commun que l'unité. £x. : 8 et 15. •
Tout nombre premier qui ne divise pas un nombre est preinler avec lui. £x. : 7 est premier avQC 24; (V. le n* 59).- ^ .
NOMBBBS PBSmSBS. 51
On appelle fadeur premier d'un nombre lont nombre prender dont il est le multiple.
83. Rebiabque. 7'out nombre qui n'est pas premier est un pro^ duit de facteurs premiers*
En effet, ce nombre admet an diviseur et peut dès lors être décomposé en un produit de deux facteurs y qui sont le diviseur en question et le quotient qu'il fournit Si ces facteurs ne sont pas premiers , chacun pourra être remplacé par deux facteurs moindres que lui ; et ainsi de suite , tant qu'il y aura dans la liste des facteurs obtenus un seul facteur non premier, on pourra le remplacer par un produit de deux facteurs moindres que lui. Mais une pareille décomposition doit avoir un terme ; car chaque facteur trouvé est au moins égal à 2, et le nombre proposé ne peut être le produit que d'un nombre limité de facteurs, 2, ou autres. Or quand la décomposition s'arrêtera, il n'y aura évidemment que des facteurs premiers dans le dernier produit égal au nombre proposé.
Ex. : 840 = 4 X 21 = 10 X4X3X7 = 2X5X2X2X8X7»
84. Un nombre est donc premier quand il n'admet pour diviseur aucun des nombres premiers moindres que lui.
85. Nous allons indiquer la marche à suivre pour former une table de nombres premiers aussi étendue que l'on voudra; mais auparavant nous observerons qu'une pareille table ne saurait renfermer tous les nombres premiers ; car, la suite des nombres premiers est illimitée.
Pour le démontrer, supposons que cette suite s'arrête à un nombre N, qui serait le plus grand de tous les nombres premiers. Imaginons que Ton forme le produit de tous les nombres premiers sans exception, depuis 2 inclusivement jusqu'à N ; à ce produit 2x3x5x7X.. ..N, ajoutons l'unité. Soit P=2 X 3 X 5 x 7 X .... X N 4- 1- Quel que soit F, il existe nécessairement un nombre premier divisant ce nombre F (83) (*). Ce diviseur premier ne peut
(*.) Les produits 2 + 1 ; 2X3 + 1 , 2X3X5 + 1,.*. ne sont pas tous des nombres premiers; on Ta cru d*abord en voyant que les premiers formés 3, 7, 81, étident des nombres premiers ; mais , en continuant, on volt , que 2 X 3 X $X 7X11X 13 + 1=:30031 estégalà 59X509.
S8 GOUBt ^âMtnmÈnwt.
Mrif aracundes nombres 2^ 9^ 5^ étc Jssqo'à N inelufitf émeute En effet, si un de ces nombres premiers, 5, par exemple^ divisait P« comme il dinse aussi le produit effectué 2X3x5x7x«.'XM^ il devrait diviser 1, ce qui est absurde. Ce diviseur premier de P, qtil exigle nécessairement^ est donc un nombre premier plus grand 4ile N I la suite des iiombres premier^ ne s^^artête donc pa^ ii N.
Il tésalte de là qu'en se proposant de former une tabk de nombres premiers ; en doit s'assigner une limite.
86; f oiiMATlon d'une thhlb de nombres PiieMiK&â. ProposonsnOttS , liar exemple, de former la table des nombres premiers eom^ pris dsbs le§ mille pfedders nombres.
NMé écrtretns ces mille premiers nombres par ordre de grandeurs:
î, 2, «i U^ 5, 6, 74 è; 9, tO, 11^ 12, ih î^i i5» 1^, ^7, 48, 19, 20« 21, 22, 28, 2^4 25, 26, 27,28^ 2»^ 50| 31» a^i n^ S^, 35| 3^,
S7, t^ a§> ^f^i 414 62^ Uh ^^ ^§; 46^ àli 48, 49, ôO^ §1,
Nombres premiers: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, ai, 43, 4t, été. (V. ta tablé èt-iptèk)
2 est évidemment un nombre premier. Parcourons noire liste , en lisant les iiombres deux à deux, à j)artir de 2 exclusivement, et efiiaiçoas^ chaque deiixiènie noiûLrè. Nous enlaçons ainsi Uè multiples de 2, autrement dits nombres pàil's. Ëh eifet , deut rangs plus loin que 2, nous trouvons 2 pfiis 2, où àeiii fois 2 ; deux fixité pius loin encore nous aurons deux fois 2, piùs 2, oii (fois fois ti} et ainsi de suite. 3 n'ayant pas été eifacë est un noîiiiire premier, ^hi^qu'il n'est divisible par aucui» nombre premier moindre que liii • parcourons de nouveau iâlisteî, à pariif de i exctûsivémehi, en comptant les nombres trois par trois , et èSaçôns cliàque If olsiémé nomJ)re qui n'aurait pas ^éjà été èifacé comme miittiplé de ^£^ê cette manière nous aurons eiîacé tous Jes multiples <lé i i en enet j trois rang$ après 3, on trouvé 3 -f- ^ ou deux fois 3 ; trois f angi piûs loin encore gn a (3 -(- 3) + â, ou trois foife i, ef ainsi de édité.
Tous les multiples de 3 ainsi éttacés , nous trouvons que lé premier nombre non effacé après S est 5. Lé hôinbfé 5 fTétânt dîvi- §lbïe par aucun des nomifes J^eûrfers 2 on 3, mëiiWw» qffe liii , est lùî même un nombre premier. Nous aurons éfficë totrs iëS pmltiples de 5, quand parcourant \è liste h partir de 5^ exclusive^
ment , et comptant les nombres 5 à 5^ nous aurons effacé chaque cinquième ildébre qdi rie serait pas déjà ëfTstcé, comme multiple de 2 ou de S Gela fait ^ on verra que le premier nombre non effacé après 5 est 7 ; 7 est un nombre premier absolu pour la raison déjà indiquée. On etfaeéra chaque septième nombre, à partir de 7 exclusivement , et aintl de suite , jusqu'à ce qu'il ne reste plus de nombres première.
On dbréfgè ce travail pdr la fèdarqcte siA^ante : quand cà commence à effacer les mùIUplei d^un certain ûonibte premier, de 1, par exemple ; ou trouve que le premier de ces multiples non effacés anléffètirèntent est 7 x 7^ Ou 1« carré de 7. Cest ce que Ton doit sdgfâlfA'iyifite;eti effet, les hohÉbrés ififériéiiri à 7 étdnt, ou des ndmbrès prètniers déjà cdhsidéfés, ou des rofaUiplesde ces nombres premiers ^ les piroduiis de 7 par ces nômbEres inférieurs ont dû nécëssaffeineiit être eff^icés, comme multiples des Nombres premiers |>récédènt^. Arrivé à 7; ôii dïètche^a donô hnmfdiatement U9, qu'oit elTacera^ et c^é!st à partir QtM, è^lhsitemeut qd*on effacera , oé 7 hombres en 7 Etoidbre^.
Cette r^narque étant appUeable à ciiaqûe n6mt»f e premier, on en déciuit cette fi§le : ehaquff fois qa'oii srrtvë il on nombl'e premier fi, èK calctllè le {tf bduU ti x ift ou n' ;< èri dtèlrcfaé Immédiatement ce carré dans la table : on Teffatce » et c'est à partir de ce carré, exclusivement, que Ton efface ensuite chaque n**"" nombre.
D'aiMi tmë HSgU , l'ttpérattois est terminée avaiid m arrive à un nombre premier p, dont le carré p* dépasse la limite de la table, qui est, éan» notre exemple^ le nosibre 1090. Ai effet i il f)^ a plus à effacer aucun nvHl^le de p ^ car U lauâiait eemmenœr ii ]^ t coi es 4ifa mitatit^ àfwHiùri, dee muMples des nombres prejnkers plus grands que jp ; on a d'ailleurs effacé lee nmltiptoe dci UMi^ bres preuners précédent»* tt ne reste deiKr plie dany la iaUe que âe4 nonûires preiliiers àbiol»i «leitik de cee Mmbid» restant if eyafit été trouvé multiple ^m nombre premier moindre qse M.
Rm Aiu^tE. lili nofltb^e fien ptemièr est «a mebis égel aa earré de ^n plus petit foctéup ptreedeh In èfiti m FeftGe eoouni ffitiltiple 4e te plu» petit faeieinr.
fiO.
^ . COURS D'i^THMÊXIQOISU, >,
Table des nombres premiers inférieurs à 1000,
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